ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода

Предисловие автора

Глава   I. Объяснение явлений в астрономии

Глава   II. Греческая математика

Глава   III. Земля

Глава   IV. Строение мира

Глава  V. Солнце и связанные с ним вопросы

Глава   VI. Долгота полной Луны

Глава   VII. Долгота Луны в любой фазе

Глава  VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них

Глава   IX. Звезды

Глава   X. Движение Меркурия

Глава   XI. Венера и внешние планеты

Глава   XII. Некоторые второстепенные вопросы

Глава   XIII. Оценка деятельности Птолемея

Приложение А. Специальные термины и обозначения

Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца

Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем

Список литературы

ПриложениеБ

МЕТОД АРИСТАРХА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ РАЗМЕРОВ СОЛНЦА

На рис. Б.1 показаны геометрические соотношения, необходимые для понимания метода Аристарха, которым он пользовался для нахождения размеров Солнца и Луны [Аристарх, ок. -280]. Горизонтальная прямая, оканчивающаяся справа в точке V, соединяет центры Солнца и Земли. Центр Солнца находится на левом конце этой линии.

 

Рис. Б.1. Подобные треугольники в конусе тени Земли. Горизонтальная прямая проходит через центры Солнца и Земли; прямая, пересекающаяся с ней в точке V,- касательная к Земле и к Солнцу. Наклонный отрезок в левом углу рисунка - это радиус Солнца, следующий наклонный отрезок - радиус Земли и самый короткий отрезок - радиус тени на расстоянии Луны. Радиус Земли взят равным 1. S-расстояние от Земли до Солнца, L- расстояние от Земли до Луны, U- оставшееся расстояние до вершины тени. Радиусы Солнца и тени равны, соответственно, S и U. Угол с вершиной в точке V сильно увеличен; его истинное значение меньше 1°

 

На расстоянии S от центра Солнца находится центр Земли. Расстояние Lравно расстоянию от Земли до Луны (среднему значению этого расстояния), расстояние U - это оставшееся расстояние, до вершины тени точки V. Прямая, пересекающая линиюцентров в точке V, перпендикулярна сферам Солнца и Земли. Радиус Земли взят равным 1, радиус Солнца равен s. Расстояние и - это радиус тени на расстоянии, равном усредненному значению расстояния до Луны. Символом lя обозначаю радиус Луны, который на рис. Б.1 не изображен.

При определении геометрических соотношений, показанных на рис. Б.1, ни Птолемей (см. раздел VIII.7), ни Аристарх за четыре столетия до Птолемея не использовали простое уравнение (VIII.2), в которое входят угловые величины. Вместо этого они исходили из того, что треугольники на рисунке подобные, и затем приступали к отысканию обозначенных на рисунке расстояний. Если оставить в стороне то, что они исходили из разных данных, то основное различие их методик состоит в следующем: у Птолемея были довольно точные значения необходимых тригонометрических соотношений, а Аристарх мог получить только некоторые пределы, в которых заключены эти соотношения. Хит, следуя статье П. Теннери (я эту статью не смотрел), показывает, как Аристарх мог получить используемые им значения пределов [Хит, 1913, с. 333-336].

Аристарх начинает с формулировки шести предположений (я приводил их в разделе VIII.2). Первые три предположения оправдывают определенные геометрические построения, используемые Аристархом. Повторять их не будем. Четвертое предположение говорит о том, что изображенный на рис. VIII.1 угол D равен 87°; пятое предположение говорит о том, что угол, под которым с Земли видно расстояние и, в два раза больше того угла, под которым с Земли виден радиус Луны l; согласно шестому предположению радиус l виден с Земли под углом 1°.

Затем Аристарх формулирует три главных вывода, которые он доказывает на основании своих предположений. Вскоре я рассмотрю эти доказательства. Потом он доказывает семь теорем, седьмая из которых в нашей терминологии такая:

18 Р sec87° Р 20.                                                                                                   (Б.1)

Предположение 4 я заменю на эту теорему, вернее, я буду пользоваться точным равенством

sec 87°= 19,1073.                                                                                                     (Б.2)

После такой замены из предположений 4, 5 и 6 мы получаем три уравнения, которые я запишу в следующем виде [1]):

l=lL,   u=yL,   S=SL.                                                                                                          (Б.3)

Числовые значения l, y и S получаются из предположений, и несколько позже я их рассмотрю.

На рис. Б.1 изображены три подобных треугольника, и из обычных теорем о подобных треугольниках получаем еще два независимых уравнения:

(U+L)/l = U/u,

(U + L + S)/s = (U+L)/l.                                                                                                        (Б4)

Неизвестное lпоявляется только в первом из уравнений (Б.З), и мы пока исключим его из рассмотрения. Тогда у нас остается четыре уравнения с пятью неизвестными величинами s, u, S, L и U. Найти пять неизвестных из четырех уравнений невозможно.

Задача не решается, пока мы не получим восьмую теорему Аристарха. Эта теорема говорит о том, что видимые размеры Солнца (угол, под которым оно видно с Земли) такие же, как и видимые размеры Луны. В доказательство этой теоремы Аристарх молчаливо вводит два новых предположения, которые, как он говорит, «очевидны из наблюдения». Эти предположения (я пронумерую их как предположения 7 и 8) такие:

Предположение 7. Луна может полностью закрыть Солнце.

Предположение 8. Продолжительность полного солнечного затмения по времени равна нулю.

Поскольку Луна может полностью закрыть Солнце, то ее видимый диаметр не может быть меньше видимого диаметра Солнца. Поскольку полное затмение не имеет продолжительности, то диаметр Луны не может быть больше диаметра Солнца. Следовательно, видимые диаметры Солнца и Луны равны, и мы получаем соотношение

s=sS.                                                                                                                        (Б.5)

Восьмая теорема Аристарха говорит о том, что s численно равно l из уравнений (Б.3), но сейчас я этим равенством пользоваться не буду.

Теперь мы, по-видимому, можем сделать вывод, что Аристарх обдуманно имеет дело с аппроксимациями. Он предполагает, что имеются единственные значения l, u, Lи U, т. е. он отвергает изменение расстояния до Луны. Вполне возможно, как мне кажется, что к тому времени астрономы еще не открыли изменения расстояния. Предположение 7 отрицает кольцеобразные затмения Солнца. Поскольку первая поддающаяся проверке ссылка на кольцеобразное затмение (см. раздел VIII.6) дана почти современником Птолемея, а возможно, такая ссылка была дана и немного позже, то можно предположить, что астрономы времен Аристарха не знали о существовании кольцеобразных затмений. Однако, с моей точки зрения, трудно поверить, чтобы астрономы времен Аристарха считали, что полное затмение заканчивается в один миг и не имеет никакой продолжительности. Сомневаюсь, чтобы наблюдатели, видевшие полное затмение, но не имевшие еще точных единиц измерения времени, склонны были недооценивать продолжительность такого затмения. Напротив, я считаю, что они должны были ее преувеличивать. Поэтому я думаю, что Аристарх вводит предположение 8 для упрощения вычислений, которые иначе были бы очень трудоемкими, если пользоваться имевшимися в то время методами [2]).

Интересна также ошибка Аристарха, допущенная в предположении 6. Но прежде чем перейти к ее обсуждению, давайте закончим рассмотрение рис. Б.1. Аристарху была недоступна большая часть математического аппарата, который мы считаем очевидным, поэтому его метод кажется нам громоздким. И вместо его способа я приведу простой способ решения. Сперва с помощью уравнений u=yL и s=sS исключим u и