1.7

7. Специальные термины и обозначения

Чтобы облегчить чтение этой книги, постараюсь объяснить специальные астрономические термины, которые потребуются нам при рассмотрении греческой астрономии. Я уже ввел некоторые специальные понятия, например эклиптику, а по мере продвижения работы будет необходимо вводить другие термины. И это ставит в некотором смысле непростую задачу.

Конечно, можно вводить и объяснять термины по мере их появления в тексте. Но такой порядок порой является серьезной помехой для последовательного изложения материала. Далее, если бы мы и ввели новые понятия там, где они впервые используются, то вряд ли читатель запомнит их все, и, следовательно, придется ссылаться на некоторые из данных ранее объяснений. Поскольку объяснения окажутся разбросанными по всей книге, то читатель может столкнуться с определенными трудностями при отыскании нужного объяснения. По этой причине я излагаю все необходимые специальные вопросы в Приложении А, даже те, которые были объяснены по мере их появления в тексте. Таким образом, читатель может искать объяснение любого понятия, которое он забыл или еще не встречал, в одном месте. Если какого-нибудь специального термина нет в Приложении А, то это мое упущение.

Я исхожу из того, что читатель имеет определенные знания по математике. Он должен уметь читать обычные алгебраические выражения и решать элементарные уравнения. Он также должен понимать простейшие выражения, содержащие тригонометрические функции. А сейчас мы на простых примерах покажем тот общий план, который преобладает в процессе построения астрономических теорий из астрономических наблюдений.

Рассмотрим уравнение 7х+3=17.

Это частный случай линейного уравнения, и решить его можно, используя лишь элементарные операции сложения, вычитания, умножения и деления, не прибегая к более сложным операциям, таким как извлечение квадратного корня. В другие уравнения «переменная», или «неизвестная» величина х входит не столь простым образом. Например, уравнение

sin2 x+tgx = l,4

нельзя решить в рамках элементарной алгебры.

Независимо от сложности уравнения существует важное правило: одно уравнение определяет одно неизвестное. Это значит, что для каждого из только что приведенных уравнений мы можем найти такое значение х, которое удовлетворяет этому уравнению [1]). Для первого уравнения - это значение х=2; для второго х приблизительно равен 43,0472°.

Рассмотрим теперь уравнение

7х+5у+3=37,

которое содержит две неизвестные величины х и у. Это уравнение не определяет однозначно величину х (или у), поскольку мы можем придавать неизвестной у (или х) любое значение, а после этого найти значение х (или у), удовлетворяющее этому уравнению. Например, если положить y=1,2, то x=4, а если положить у=4, то получим х=2. Однако если мы скажем, что х и у должны одновременно удовлетворять данному уравнению, а также еще одному уравнению, например,

х+у=6,

то существует единственное решение. Это решение, очевидно, такое: х=2 и у=4.

Итак, существует общее правило: для того чтобы можно было решить систему уравнений с несколькими неизвестными, у нас должно быть столько независимых уравнений, сколько неизвестных. Это справедливо и для линейных, и для более сложных уравнений. Если неизвестных больше, чем уравнений, то имеется бесконечное множество решений. Если же уравнений больше, чем неизвестных, то решений нет. Последняя ситуация часто возникает, когда мы пытаемся вывести теорию из наблюдений, так что остановимся на этом случае. При построении теории, требующей согласования с наблюдениями, как правило, наступает момент, когда нужно решить, какую математическую форму следует придать этой теории. Проиллюстрируем это на простом примере. Согласно теории изолированное тело движется по прямой с постоянной скоростью. Пусть х - это расстояние по данной прямой от некоторой определенной точки и пусть t- время.. Тогда теория «прямолинейного движения с постоянной скоростью» принимает вид

x=a+bt. (I.1)

Здесь а и b-числа, которые априори неизвестный которые мы должны определить из наблюдений. Такие числа называются параметрами теории.

В данном примере два параметра, следовательно, мы должны провести по крайней мере два наблюдения. Предположим, мы нашли, что х=5 при t=1 и х=7 при t=2. При подстановке измеренных величин по очереди в формальное уравнение (I.1) мы получаем пару уравнений

5= а+b, (I.2)

7=а+2b.

Неизвестными являются параметры а и b, и решение, очевидно, такое:

а=3, b=2. (I.3)

Однако все измерения содержат некоторую погрешность, и мы знаем, что полученные значения не совсем точные. Мы никогда не сможем найти абсолютно точные значения параметров, но всегда можем улучшить точность, используя дополнительные измерения. Предположим, что еще раз измерили х при t = 3 и нашли, что х = 10. Тогда получим уравнение

10=а+3b. (I.4)

Теперь мы должны решить уравнение (I.4) совместно с уравнениями (I.2). Но решения, очевидно, не существует. Значения (I.3) не удовлетворяют уравнению (I.4).

В этом случае мы находим «наиболее подходящие» параметры. Под ними мы подразумеваем такие значения неизвестных, которые лучше всего удовлетворяют всему множеству уравнений, хотя обычно и не удовлетворяют в точности ни одному из них.

Существуют различные критерии, на основе которых проводится подбор наилучших параметров. Одним из наиболее широко используемых критериев является «метод наименьших квадратов». Его суть состоит в следующем. Предположим, что A и В - «наиболее подходящие» значения а и b. Подставим теперь последовательно те моменты времени, в которые мы измеряли х, в уравнение (I.1), используя величины А и В, которые мы, однако, еще не знаем. Таким образом мы найдем три величины: A+В, A+2В и А+ЗВ. Тогда три погрешности в измерении величины х будут равны А+В-5, A+2В-7 и A+ЗВ-10. Обозначим через Ј сумму квадратов этих погрешностей, т. е.

Ј = (A+В-5)²+(A+2В-7)²+(A+ЗВ-10)². Мы называем «наиболее подходящими» те значения A и В, при которых Ј минимальна. В данном случае такими величинами являются значения A=7/3 и В=5/2. Этот метод можно распространить на любое число наблюдений.

Кратко укажем еще на два момента. Немного выше я написал число 43,0472°, имея в виду 43,0472 градуса. Если астроном хочет записать какую-либо величину в десятичной форме, то он иногда помещает символ, соответствующий единице измерения, перед десятичной запятой. Аналогично, если ему надо записать 14 часов плюс 12 минут, то астроном может написать 14^h12^m (плюс опускается), или 14^h,2.

В одной из сносок в начале этой главы я упоминал об астрономическом стиле записи года. Даты в этой работе приводятся в астрономическом стиле. Здесь следует обратить внимание на две особенности такой записи. Первая состоит в том, что, в отличие от исторического стиля, год может иметь знак минус. Вторая касается порядка записи: на первом месте стоит год, за ним месяц и уже потом день месяца. Эти составляющие части даты запятыми не разделяются. Так, например, историк напишет, скорее всего, что Юлий Цезарь был предательски убит 15 марта 44 г. до н. э. Астроном запишет эту дату так:- 43 март 15 [2].

[1] В некоторых случаях таких значений х бывает два или больше. Например, равенство х2 = 1 выполнено при х = 1 и x = -1. Здесь эту возможность мы можем не рассматривать.

[2] Для удобства чтения в тексте мы будем приводить составляющие части даты в обратном порядке. Например, 15 марта - 43г. (Примеч. пер.)