Г л а в а XII
НЕКОТОРЫЕ ВТОРОСТЕПЕННЫЕ ВОПРОСЫ
1. Поворотные точки видимых движений планет
Закончив построение моделей, дающих долготы планет, Птолемей выполнил основную задачу «Синтаксиса». В этой главе я коснусь второстепенных вопросов, которыми Птолемей занимается в двух последних книгах «Синтаксиса», в Книгах XII и XIII. За исключением одной, все рассмотренные Птолемеем темы имели важное значение для вавилонской астрономии, но в греческой астрономии им уделялось относительно мало внимания.
Кроме того, в этой главе я вернусь к одному из рассмотренных ранее неоконченных вопросов. Когда я вводил в разделе Х.6 модель вторичного экванта для Меркурия, то обещал рассказать о причинах, приводящих к изучению этой модели, и объяснить, почему такое обоснование модели «вторичного экванта» находилось в пределах интеллектуального кругозора греческих астрономов. Мне удобно будет сделать это в последнем разделе данной главы.
Книгу XIПтолемей заканчивает изучением модели экванта, примененной к Сатурну. Первые восемь глав Книги XII он посвящает поворотным точкам видимых движений'планет. Мы уже обсуждали их вкратце в разделе 1.5 этой книги. Большую часть времени планета движется по небу в восточном направлении. Но есть такой момент, когда движение на восток прекращается и планета начинает двигаться на запад. Однако через относительно короткий промежуток времени движение на запад прекращается и планета возобновляет свое обычное движение на восток. Смена направления движения возможна из-за того, что скорость движения по эпициклу больше скорости центра эпицикла в его движении по деференту. Птолемей начинает с того, что в главе XII.1 приводит одну важную теорему о поворотных точках. Теорему эту он приписывает Аполлонию Пергскому [1]). Город Перга расположен в центральной части южного побережья Малой Азии. Аполлоний - основное лицо в развитии учения о конических сечениях. Видимо, он ввел в астрономию модель эксцентра, и, возможно, он был первым, кто показал эквивалентность моделей эпицикла и эксцентра (см. раздел IV.3).
Я докажу теорему Аполлония с использованием современной терминологии и даже не буду пытаться воспроизвести доказательство Птолемея, хотя в принципе основные черты этих доказательств одинаковые. Сперва рассмотрим для планет простейший случай эпициклической модели. На рис. XII1 точка В - это центр эпицикла. Она движется равномерно по кругу, центром которого служит Земля Е, и долгота точки В - это средняя долгота Lпланеты. Аномалия у - это угол между радиусом ВР эпицикла и прямой из точки Е в точку В. Значения L и у возрастают в направлении против часовой стрелки.
Рис. ХII.1 Теорема Аполлония о поворотных точках. Круг с центром в точке В - эпицикл планеты Р. В простой эпициклической модели точка В движется равномерно по кругу с центром в точке Е, обозначающей положение Земли. Если аномалия і изменится на ґі без изменения положения точки В, то Р перейдет в точку Q1.сли средняя долгота изменится на ґL, а і не изменится, то точка Р перейдет в точку Q2. В действительности меняются и і, и L, и точка Р оказывается в поворотной точке, если углы PEQ1 и PEQ2 равны. Треугольник справа - это дополнительное построение, используемое в доказательстве теоремы
В некоторый момент времени планета находится в точке Р. Предположим, что аномалия возросла на величину ґі, а долгота при этом не изменилась. Тогда точка Р перейдет в точку Q1 а долгота уменьшится на угол PEQ1. С другой стороны, можно предположить, что средняя долгота изменилась на ґL, а аномалия осталась без изменения. Тогда и весь эпицикл повернется на угол ґL, а точка Р перейдет в точку Q2. Долгота точки Р увеличится на угол PEQ2, равный ґL.
В реальной ситуации изменения аномалии и средней долготы на некоторые величины ґі и ґLпроисходят одновременно и долгота истинной планеты Р не изменяется, если равны углы PEQ1 и PEQ2.
Рассмотрим теперь небольшой рисунок, находящийся справа от основного. Здесь увеличена часть основного рисунка около перемещения PQ1. На самом деле PQ1 - дуга круга, но она настолько мала, что ее можно рассматривать как отрезок прямой. Когда точка Р переходит в точку Q1,то в результате такого перемещения изменяется и расстояние до точки Е, но на глаз это изменение неразличимо. Если отрезок CQi параллелен лучу зрения ЕР, то нам будет казаться, что точка Р движется к точке С, а не к точке Q1. Если PC (а не PQ1) равно PQ2, то углы PEQ1 и PEQ2 равны.
Треугольники PCQ1 и РАВ подобны, поэтому PC/PQ1=AP/BP; ВР - это радиус эпицикла r. Таким образом, PC=(AP/r)PQ1. Если углы ґі и ґLизмерены в соответствующих единицах, то PQ1=rґі и PQ2=БґL, где Б - расстояние от точки Е до точки Р. Итак, PC= =AРґі. В этом случае отношение PQ2/PCравно
РQ2/РС=БґL/AРґі = (Б/AP) (ґL/ґі).
Но отношение ґL/ґі такое же, как отношение их скоростей. Если использовать введенные ранее обозначения, то Lувеличивается со скоростью nградусов в сутки, а і возрастает со скоростью і' градусов в сутки. Следовательно,
PQ2/PC=(Б/AP)(n/і').
Точка Р совпадает с поворотной точкой, т. е. долгота точки Р не меняется, если отношение PQ2/PC равно 1. Другими словами, Р находится в поворотной точке, если
AP/Б=n/і'. (XII. 1)
Это и есть теорема Аполлония.
В модели экванта угловая скорость і' постоянна, но угловая скорость п и расстояние р постоянными не являются. Следовательно, положение точки Р на эпицикле (т. е. аномалия) в поворотной точке зависит от значения средней долготы L. Доказав в главе XII.1 теорему Аполлония, Птолемей посвящает следующие пять глав выяснению того, как в поворотной точке у зависит от L. Такие исследования он проводит для каждой из пяти планет. Основывается Птолемей на своих моделях планетного движения. Главы XII.7 и XII.8 посвящены таблицам поворотных точек.
