Глава VIII.1

Глава VIII

РАЗМЕРЫ СОЛНЦА И ЛУНЫ. РАССТОЯНИЯ ДО НИХ

1. Теория затмений

Теория затмений является прямым следствием теорий движения Солнца и Луны. Другой информации, кроме информации, необходимой для описания этих движений, почти не требуется. Поэтому теории затмений в данной работе будет уделено не так уж много внимания. Но рассмотреть ее надо по двум причинам. Во-первых, она является впечатляющим свидетельством достижений греческой астрономии. Во-вторых, для развития этой теории все же требуются некоторые измерения, используемые также при определении размеров Солнца и Луны.

Затмениям Птолемей посвящает Книгу VI «Синтаксиса». Ясно, что затмения бывают только тогда, когда Луна находится в сизигиях. Но птолемеева теория Луны, находящейся в сизигиях, если и отличается от предшествующих теорий, то очень мало. Поэтому вполне возможно, что весь материал, изложенный в Книге VI «Синтаксиса», был известен до Птолемея. И все же Птолемей делает одну ошибку, которой, по всей видимости, в более ранних работах не было.

Сначала Птолемей приводит таблицу, с помощью которой можно определять средние сизигии, т. е. те моменты, когда разница между средней долготой Луны и средней долготой Солнца является кратной 180°. Эта таблица предназначалась специально для определения аномалий Луны и Солнца на полученные моменты времени, а также для определения широты Луны. По этим величинам можно найти моменты действительных сизигий; для этого надо найти поправки на средние сизигии, обусловленные уравнениями центра для Солнца и для Луны. С помощью тех же самых величин можно найти и широту Луны в сизигиях.

Затем Птолемей приводит таблицы, в которых наибольшая фаза лунных и солнечных затмений дана как функция широты Луны в момент сизигий [1]). Если параллакс и сказывается на наблюдениях лунных затмений, то очень незначительно, и этими таблицами можно пользоваться в любом месте проведения наблюдений. На солнечные затмения параллакс оказывает заметное влияние, и поэтому таблицы подходят только для наблюдателя, находящегося в центре Земли, или же, что по существу одно и то же, в точке, в которой момент середины затмения приходится на местный полдень, а Солнце стоит в зените. Для любого затмения, солнечного или лунного, результаты вычисления наибольшей фазы затмения зависят от видимых размеров дисков Солнца и Луны. Это и есть точка соприкосновения теории затмений с (действительными) размерами Солнца и Луны. Птолемей в своих таблицах исходит из того, что видимый диаметр Солнца - величина постоянная. Для обоих видов затмений Птолемей дает две таблицы: одна используется в тех случаях, когда видимый диаметр Луны максимален, другая - когда минимален. Для всех четырех получившихся таблиц Птолемей приводит некоторую величину, с помощью которой можно рассчитать продолжительность затмения.

Для лунного затмения по этим таблицам мы получаем практически всю необходимую информацию, как только определим момент затмения и широту полной Луны. Если видимые размеры Луны не экстремальны, то нужные нам величины можно найти путем интерполяции. И наконец, для каждого данного места наблюдения мы должны решить, находится ли Луна выше горизонта или ниже.

С Солнцем дело обстоит сложнее, поскольку очень многое зависит от места наблюдения. Птолемей описывает, как для произвольной точки наблюдения, скажем точки А, вычислить все величины, характеризующие затмение. Сначала нужно вычислить параллакс Луны для точки А и, используя координаты Луны, рассчитать время геоцентрического соединения. Если есть параллакс по долготе (а так обычно и бывает), то время видимого из точки А соединения отличается от времени, полученного в расчетах. Поэтому нужно вычислить новое время, а по существу это означает, что нужно вычислить новый параллакс, и т. д. Задача не может быть решена точно, но подобные последовательные аппроксимации довольно быстро дадут нам вполне приемлемое решение. Если нашли время, то можем вычислить широту, на какой Луна видна из точки А. Теперь для расчета тех величин, которые характеризуют затмение, можно использовать таблицы

Обсуждая затмения, Птолемей несколько раз ссылается на Гиппарха, однако явно не говорит, была ли у Гиппарха полная теория затмений или нет. Поскольку эвекция в теории затмений не учитывалась, то в основу такой теории можно было положить простую эпициклическую модель. Птолемей говорит, что Гиппарх использовал для Луны и эпициклическую модель, и модель эксцентра; неясно, правда, чему у Гиппарха было равно максимальное значение уравнения центра. Птолемей говорит также, что Гиппарх изучал параллаксы Солнца и Луны и пользовался в своих изучениях затмениями [«Синтаксис», глава V.11]. Если это соответствует действительности, то у Гиппарха была вся информация, необходимая для вычисления величин, характеризующих солнечное затмение, для любой точки наблюдения

Таким образом, уже ко времени Гиппарха греческие астрономы умели, по-видимому, вычислять все величины, характеризующие солнечное затмение, но в этом случае они обязательно могли предсказывать затмения и определять, будут ли они видны в том или ином месте [2]). Интересно оценить точность таких результатов.

Точность ограничена точностью используемых в вычислениях солнечных и лунных эфемерид, а также точностью географических координат. И в теории Гиппарха, и в теории Птолемей есть значительные ошибки в значениях средних скоростей движения Солнца и Луны, а вот ошибки в относительной скорости движения этих тел небольшие. Мы можем не принимать во внимание источник этих ошибок для времен, близких к нулевому году. К тому же значение 0,581°, найденное для среднего квадратичного отклонения в птолемеевой теории Луны, включает влияние вариации, а в сизигиях, когда только и бывают затмения, этот эффект отсутствует. Если вариацию исключить из рассмотрения, то среднее квадратичное отклонение в птолемеевой теории Луны равно 0,31° (раздел VII.6). Примерно такая же погрешность и в гиппарховой теории для сизигий. Наибольшая погрешность в солнечных эфемеридах составляет около 0,37°, а среднее квадратичное отклонение примерно равно 0,26°. Среднее квадратичное отклонение при определении относительного расположения Луны и Солнца примерно равно 0,40°. Следовательно, среднее квадратичное отклонение при определении момента затмения составляет около 0,80 часа. Земля за это время поворачивается на 12°.

В разделе III.5 мы уже говорили, что Птолемей ошибся на 21° в долготе при определении положения восточного края Средиземного моря относительно западного. Можно сказать, что такая ошибка получилась при определении долготы Гибралтара по отношению к долготе Александрии. Для простоты будем считать, что среднее квадратичное отклонение измерения долготы у греков было равно 10°. Хотя можно привести несколько примеров, когда греческие астрономы ошибались при определении широты, все же будем считать, что погрешностей по широте нет. Если на момент затмения мы на 12° ошиблись при определении ориентации Земли в пространстве и если имеются погрешности порядка 10° при определении положения точки на поверхности Земли, то суммарная погрешность (среднее квадратичное отклонение) в долготе составит 16°.

Другими словами, если у греческого астронома примерно в нулевом году получилось, что какая-то точка должна быть точно в центре (полосы полной фазы.- Ред.) солнечного затмения, то для такого результата среднее квадратичное отклонение значения долготы составит 16°, т. е. центр может остоять от этой точки на 16° по долготе.

Изучая солнечные затмения, я получил, что обычно солнечное затмение является полным в полосе, шириной около 8° по долготе [Ньютон, 1972а] [3]). Таким образом, погрешность в вычислениях греческого астронома вдвое превышает ширину полосы полного затмения, и если астроном получит, что в определенной точке затмение будет полным, то он вполне может ошибиться. Но в этой точке все же будет закрыта значительная часть солнечного диска. Иначе говоря, греческий астроном мог надежно предсказать, что фаза затмения в некоторой точке будет большой, а вот будет ли затмение полным, этого он точно сказать не мог.

[1] Более точно, в качестве независимой переменной Птолемей использует аргумент широты.

[2] У Плиния в «Естественной истории», II 53, сказано, что Гиппарх рассчитал все затмения на период в 600 лет. Это утверждение выглядит несколько неправдоподобным, поскольку тогда Гиппарху пришлось бы выполнить огромное количество вычислений. Само по себе данное утверждение свидетельствует о том, что Гиппарху была известна теория затмений. Однако на Плиния в подобных вопросах не всегда можно положиться. Так, в той же «Естественной истории», 11.57, он говорит, что лунные затмения иногда начинаются с восточной стороны Лупы, а иногда с западной.

[3] Читателя такая цифра может удивить, если он привык считать, что полоса полного затмения узкая. Здесь речь идет о ширине в направлении восток - запад, но примерно в этом направлении проходит большая часть затмений. По широте типичная полоса полного солнечного затмения довольно узкая.