ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ
Глава I. Объяснение явлений в астрономии
Глава II. Греческая математика
Глава III. Земля
Глава IV. Строение мира
Глава V. Солнце и связанные с ним вопросы
Глава VI. Долгота полной Луны
Глава VII. Долгота Луны в любой фазе
Глава VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них
Глава IX. Звезды
Глава X. Движение Меркурия
Глава XI. Венера и внешние планеты
2. Соотношение между двумя эксцентриситетами
3. Птолемеевы параметры для Венеры
4. Точность птолемеевой модели для Венеры
6. Модель Птолемея для внешних планет
7. Точность птолемеевой модели для внешних планет
8. Подделка данных для внешних планет
Глава XII. Некоторые второстепенные вопросы
Глава XIII. Оценка деятельности Птолемея
Приложение А. Специальные термины и обозначения
Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца
Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем
Основной чертой модели экванта служит использование трех различных точек Е, Z и D для описания движения точки В (см. раздел IV.5 и рис. IV.4). То, что точка В является центром эпицикла, само по себе не так уж важно. Даже без эпицикла модель экванта представляет собой интересную модель для описания движения точки В.
Угол BDіназывается средней долготой точки В, а угол BEі - истинной долготой точки В. Угол, равный разности этих углов, назван уравнением центра. В данной книге уравнение центра мы обозначаем символом ес. Угол EBD (рис. IV.4) обозначим через ґ. Из элементарной геометрии получаем, что угол АЕВ равен углу ADB минус ґ, так что ґ равно ес, взятому с обратным знаком.
Угол ґ равен сумме двух углов, которые на рисунке не показаны, а именно углов ZBE и EBZ. Обозначим эти углы, соответственно, через ґ1 и ґ2. Как и раньше, пусть е1 - первый эксцентриситет ZE, е2 - второй эксцентриситет DZ и пусть а обозначает угол ADB. Поскольку рассматривается движение точки В, то а - это средняя аномалия этой точки, измеренная от положения апогея А, и мы называли эту величину средним угловым расстоянием до апогея. Последовательно используя приведенные ниже уравнения (XI.1), мы сможем найти значение ес:
sinґ2 = е2 sin±; ё2 = ± - ґ2;
tg ґ1 = е1 sin ё2/(1+e1 cos ё2); (XI.1)
ес== - ґ1 - ґ2.
В данных уравнениях, а также в тех, которые сейчас последуют, расстояние ZB равно 1, а все углы даны в радианах.
Пусть е1 и е2 настолько малы, что их кубами, а также более высокими степенями можно пренебречь. Используя уравнения (XI.1), значение Јс'можно записать с помощью одного уравнения:
ес = -( е1 + е2) sin ± + (l/2) е1 (е1 + е2) sin 2±. (XL2)
Уравнение (IV.8) дает уравнение центра для эллиптической орбиты с эксцентриситетом е. Если заменить символ і, использованный в уравнении (IV.8) для обозначения аномалии, на ±, то получим
ес= -2е sin ±+(5/4)е2 sin 2±. (XI.3)
Еще раз напомним, что уравнение (XI.3), как и уравнение (XI.2), справедливо лишь в том случае, если можно пренебречь кубами и более высокими степенями е.
Имеются три интересных случая.
1. Пусть е1=2е и е2=0. Тогда уравнение (XI.2) принимает вид
ес= -2е sin ±+2е2 sin 2±. (X1.4)
С такими значениями модель экванта становится простой моделью эксцентра (раздел IV.3). Сравнивая уравнения (XI.3) и (XI.4), мы видим, что ошибка равна (3/4)е2 sin 2±. Этот результат мы получали и, раньше, и я его здесь привел лишь в качестве проверки уравнения (XI.2).
2. Пусть e1=(5/4)e и е2=(3/4)е. Тогда
ес= -2е sin ±+(5/4)е2 sin 2±. (XI.5)
Если можно пренебречь е3 и старшими степенями, то этот вариант модели экванта дает такую же долготу точки В, что и эллиптическая модель.
3. Пусть е1=е2=е. Тогда
ес= -2е sin ±+е2 sin 2±. (XI.6)
Погрешность в долготе равна (1/4)е2 sin 2±. Это больше, чем в случае 2, но это лишь треть погрешности в простейшем случае модели эксцентра [1]). Рассмотрим теперь изменение расстояния от Земли Е до точки В в различных моделях. Для правильной эллиптической орбиты расстояние меняется от (1+е) в апогее до (1-е) в перигее [2]). В случае 1 (простейший случай эксцентра) расстояние изменяется от (1+2е) в апогее до (1-2е) в перигее; как мы уже видели, изменение в два раза больше, чем нужно. В случае 2 (напомним, что в этом случае модель дает наилучшую точность для вычисления долготы) расстояние меняется от (1+(5/4)е) в апогее до (1-(5/4)е) в перигее, т. е. наибольшая погрешность в расстоянии равна (1/4)е, при условии, что нет погрешности в долготе. В случае 3 расстояние меняется от (1+е) в апогее до (1-е) в перигее. В этом случае модель верно описывает расстояние, а наибольшая погрешность в долготе составляет всего лишь (1/4)е2. Следовательно, этот случай хорошо согласуется с эллиптической орбитой и по долготе, и по расстоянию.
При подгонке модели к наблюдениям сама природа наблюдений определяет, дает ли наилучшие результаты случай 2 или случай 3. Если нас интересует только долгота, то предпочтительнее случай 2. Если же важно расстояние, то больше подходит случай 3. В реальных ситуациях иногда важны и долгота, и расстояние. В таких случаях мы ожидаем, что значение е1 лежит между е и (5/4)е (если е1+е2 считать равным 2е).
При использовании модели экванта для описания движения планеты мы заинтересованы в получении значений долготы точки В, но небезразлично нам и расстояние до нее. В теории Меркурия важную роль при определении параметров движения играет угол с вершиной в точке Е, который стягивает эпицикл. Этот угол играет такую же важную роль в теориях Марса и Венеры, наших ближайших соседей. Он важен и для теорий Сатурна и Юпитера, хотя и не в такой степени, как для близких планет. Поскольку рассматриваемый угол прямо связан с расстоянием от точки Е до точки В и поскольку долгота планеты прямо связана с долготой точки В, то в теории планет необходимо уделять внимание и долготе, и расстоянию.
[1] Эпициклическая модель дает тот же результат, что и простейший случай
эксцентра.
[2] При условии, что в среднем расстояние равно 1.