Глава XI.5

5. Подделка данных о Венере

На рис. XI.1 проведено сравнение точных значений наибольшей элонгации, найденных по современной теории, с теми, которые вытекают из теории Птолемея. Рис. XI.1 аналогичен рис. Х.11 для Меркурия. Но на этих рисунках отображены довольно разные ситуации. На рис. Х.11 значительная часть наблюдений поразительно хорошо согласуется со значениями, полученными по теории Птолемея, и только несколько наблюдений хорошо согласуется с точной теорией. Это и позволило нам сразу же сделать вывод, что большая часть наблюдений Меркурия является подделкой, независимо от того, проделал ли Птолемей, по его словам, их сам, или же приписывал другим наблюдателям.

На рис. XI.1, напротив, лишь несколько наблюдений заметно лучше согласуются с теорией Птолемея, чем с точной. Наблюдение 4 (это одно из тех наблюдений, о которых Птолемей заявляет, что провел их сам) и наблюдение 3, приписанное Теону, лучше согласуются с точной теорией, чем с теорией Птолемея, а сделанное Теоном наблюдение 1 не согласуется ни с одной из теорий. Это вовсе не означает, что наблюдения являются подлинными, а означает то, что методика Птолемея для двух планет на самом деле была различной.

Сперва рассмотрим вопрос, связанный с определением положения апогея. Сомнительно, чтобы время, когда планета находится в наибольшей, элонгации, могло быть определено невооруженным глазом с точностью до одних суток. Поэтому мы вправе ожидать, что в таблице XI. 1 ошибка для значений L получится больше 1°. Если усреднять два значения L для отыскания положения апогея, то погрешность в среднем арифметическом должна получиться несколько меньше, чем погрешность в отдельном наблюдении. Мы, должно быть, будем очень близки к истине, если скажем, что погрешность в положении апогея, определяемом способом Птолемея, будет порядка градуса или около того.

Птолемей дважды определяет положение апогея и получает значения, отличающиеся только на 2', хотя ожидаемое расхождение составляет один градус или около того. В действительности же погрешность в обоих значениях, как видно из таблицы XI.2, близка к 4°. Вероятность случайно получить такое совпадение значений, как у Птолемея, очевидно, настолько ничтожная, что нет необходимости оценивать ее.

Но тогда такое совпадение двух значений долготы апогея является результатом подделки, а не наблюдения. Совпадение двух величин могло быть получено подделкой только одного из значений, так что в данный момент мы можем сказать лишь следующее: по крайней мере одно из наблюдений с 1-го по 4-е в таблице XI.1 сфабриковано. Точно, указать это наблюдение мы сейчас не можем. Погрешности, приведенные в табл. XI.1, не дают нам возможность осуществить такой выбор [1]).

Обратим теперь наше внимание на вычисление параметров, которые могут быть найдены из наибольших элонгации. Такими параметрами являются два эксцентриситета е₁ и е₂ и радиус эпицикла r. Следует отметить один замечательный факт. Птолемей находит сумму е₁ + е₂ из анализа наблюдений, стоящих в табл. XI.1 под номерами 7 и 8. Найденное им значение точно равно 2 1/2 (при условии, что радиус деферента равен 60). Такое значение точно совпадает с эксцентриситетом Солнца в гиппарховой теории Солнца. Не думаю, чтобы Птолемей привлекал внимание читателя к такому точному совпадению, и не считаю это совпадение случайным [2]).

Паннекук обращает внимание на это совпадение и объясняет его так: «...следует учесть, что птолемеевские наблюдения проводились в моменты наибольших элонгации относительно Солнца, и поэтому долготы Венеры получались посредством редукций по солнечным таблицам, основанным на ошибочном эксцентриситете в 1/24 [3]); так что он получил в качестве «результата» то, что следовало назвать совсем иначе» [Паннекук, 1966, с. 156]. Другими словами, в результатах Птолемея уравнение центра для точки В автоматически равно уравнению центра для Солнца, и это следствие методики Птолемея при анализе данных.

Как мне кажется, в таком объяснении две ошибки. 1) Уравнение центра для точки В не такое же, как для Солнца. «Эксцентриситет долготы» (а это то же самое, что максимальное значение уравнения центра) одинаков и для точки В, и для Солнца, но положение апогея отличается больше, чем на 10°. Поэтому Птолемей не должен получить в качестве результата то, что он до этого ввел под другим названием. 2) Ни в одном случае наблюдавшаяся величина не была элонгацией, отсчитываемой от действительного Солнца. В каждом случае (по крайней мере, такие описания дает Птолемей), наблюдаемая величина была долготой Венеры, измеренной на фоне звезд без какого-либо соотнесения с действительным положением Солнца. А элонгацию D_@ Птолемей затем получает путем вычитания вычисленной долготы среднего Солнца из полученной в наблюдении долготы Венеры. Положение действительного Солнца в этот процесс не включено, а значит, не рассматривалось и уравнение центра.

Смысл сказанного в том, что погрешность в измерении долготы Венеры прямо влияет на значения, найденные для эксцентриситетов. Если Птолемей получает е₁+е₂=2 1/2 из подлинных наблюдений, то совпадение должно происходить из-за случайных погрешностей наблюдения при определении долготы Венеры на фоне звезд. Теперь рассмотрим, как Птолемей находит значение е₁+е₂.

Самым важным числом является половина разности элонгации для наблюдений 7 и 8 из табл. XI.1. На рис. X 1.2 это угол DBE. У Птолемея он равен 2;22,30. Значение 6i+e2 равно произведению синуса этого угла на длину, очень близкую к 60, и у Птолемея е₁+е₂ точно равно 2;30. Это значит, что найденное им значение лежит на интервале длиной 0;01, от 2;29,30 до 2;30,30.

Рассмотрим теперь влияние погрешности измерения. Если среднее квадратичное отклонение отдельного измерения долготы равно 0,25°, то среднее квадратичное отклонение разности элонгации равно 0,25° * Ц 2, среднее квадратичное отклонение величин угла DBE в два раза меньше и среднее квадратичное отклонение значения синуса угла составляет примерно 0,00308. Таким образом, среднее квадратичное отклонение е₁+е₂ примерно равно 60x0,00308=0;11.

Значение Птолемея для е₁+е₂ попадает на определенный заранее интервал размером в 1/11 среднего квадратичного отклонения. Если бы найденное им значение было приблизительно правильным, то вероятность такого случайного совпадения была бы около 0,036, т. е. 1 шанс из 28. Но из табл. XI.2 видно, что правильное значение е₁+е₂ равно 0,027 594, если радиус деферента равен 1, или эта сумма примерно равна 1;39, если радиус деферента равен 60. Так что погрешность в птолемеевом значении составляет 0,51, около 4,5 среднего квадратичного отклонения. Вероятность того, что е₁+е₂ попало в определенный заранее интервал, длина которого равна 1/11 среднего квадратичного отклонения, а середина отстоит на 4,5 среднего квадратичного отклонения от правильного значения, расценивается примерно как 7 из 10⁶. Поэтому вряд ли могут быть сомнения в том, что Птолемей сфабриковал либо наблюдение 7, либо наблюдение 8, а возможно, и оба наблюдения. Лично я уверен в последнем.

Для нахождения параметров е₁ и r Птолемей использует наблюдения 5 и 6. Значение е₁ у него получилось равным 1;15, точно половина суммы е₁+е₂. Это значит, что и e₁ попадает в определенный заранее интервал длиной 0;01. Если проанализировать влияние погрешности, равной 0,25°, для отдельного измерения долготы, то получим, что е₁ совпадает с половиной е₁+е₂ (в пределах погрешности округления) с вероятностью около 0,0009, т. е. меньше, чем 1 шанс из 1000. Вряд ли можно сомневаться в том, что одно из этих наблюдений также подделка. Поскольку одно наблюдение принадлежит Теону, а другое - Птолемею, то подделкой должно быть наблюдение Птолемея. Возможно, наблюдение Теона подлинное, хотя не исключено, что Птолемей сфабриковал и это наблюдение.

Мы уже отмечали, что Птолемей не говорит нам, как он находит значение gў_@ из тех наблюдений, которые он приводит, Птолемей это значение не получает. Но мы знаем, что проведенное, по его словам, им самим 16 декабря 138 г. наблюдение, которое он использует для подтверждения значения gў_@, сфабриковано. Наблюдения, проведенные Тимохарисом, могут быть подлинными. Погрешности в этих наблюдениях всего лишь около 10' и 5' [АРО, таблица XII.5], и нет видимых причин, зачем бы Птолемею подделывать эти наблюдения.

В разделе XI.8 я покажу, как Птолемей подделывает наблюдение, датированное 16 декабря 138 г. Здесь же мы должны спросить, на чем основаны подделки других его мнимых наблюдений, или, что то же самое, спросить, как он выбирает параметры для своей модели. Мне кажется, не вызывает сомнения тот факт, что Птолемей априори решил сделать параметры e₁ и е₂ равными половине эксцентриситета орбиты Солнца. Это вовсе не означает, что Птолемей поддерживает гелиоцентрическую теорию Венеры. В действительности, как мы видим, он не придерживается такой теории, поскольку апогей, который, он использует в теории Венеры, не совпадает с апогеем Солнца. Скорее похоже на то, что Птолемей исходит из эксцентриситета орбиты Солнца, так как это удобное значение, которое замечательно хорошо «работает».

Если свое решение об эксцентриситетах Птолемей принял до начала работы, то ему оставалось найти только долготу апогея а и радиус эпицикла r из наблюдений наибольшей элонгации (см. табл. XI.1). Эти параметры он мог получить из любых двух подлинных наблюдений. Поскольку в табл. XI.1 есть три наблюдения Теона, то в порядке рабочей гипотезы я считаю, что для нахождения параметров а и r Птолемей воспользовался двумя из них. Взяв для примера наблюдения 1 и 5, я получил долготу апогея равной 55° (если округлить до градусов) и r=42;45. Долгота апогея точно совпадает со значением у Птолемея, да и r недалеко от птолемеева значения 43;10. Разница, возможно, получилась просто из различия вычислительных приемов.

Могло так случиться, что Птолемей нашел свои параметры по двум из трех наблюдений, приписываемых Теону, и нет никаких принципиальных помех для вывода о том, что его собственные наблюдения подделаны. Но он не оставил достаточно информации для осуществления однозначного восстановления его процедуры.

[1] Читатель мог заметить, что погрешности, приведенные в последнем столбце табл. XI.1, не обязательно совпадают с погрешностями, показанными на рисунке. Причина в том, что погрешности из табл. XI.1 - это погрешности в измеренной долготе Венеры. Поэтому, если была ошибка в определении момента наибольшей элонгации, то погрешность в измеренной долготе отличается от погрешности в элонгации.

[2] В соответствии с уравнением (XI.2) «эксцентриситет долготы» равен сумме е₁ + е₂. Этот эксцентриситет мы находим путем вычисления долготы точки В в модели экванта. И Солнце, и точка В обнаруживают одинаковую эксцентричность в своих долготах.

[3] Если радиус деферента равен 60, то этот эксцентриситет равен 2 1/2.