ѕ–≈—“”ѕЋ≈Ќ»≈  Ћј¬ƒ»я ѕ“ќЋ≈ћ≈я

—ќƒ≈–∆јЌ»≈
ѕредисловие редактора перевода

ѕредисловие автора

√лава†† I. ќбъ€снение €влений в астрономии

√лава†† II. √реческа€ математика

√лава†† III. «емл€

√лава†† IV. —троение мира

√лава† V. —олнце и св€занные с ним вопросы

√лава†† VI. ƒолгота полной Ћуны

√лава†† VII. ƒолгота Ћуны в любой фазе

√лава† VIII. –азмеры —олнца и Ћуны. –ассто€ни€ до них

√лава†† IX. «везды

√лава†† X. ƒвижение ћеркури€

√лава†† XI. ¬енера и внешние планеты

1.††††††† ќсновное свойство экванта

2.††††††† —оотношение между двум€ эксцентриситетами

3.††††††† ѕтолемеевы параметры дл€ ¬енеры

4.††††††† “очность птолемеевой модели дл€ ¬енеры

5.††††††† ѕодделка данных о ¬енере

6.††††††† ћодель ѕтолеме€ дл€ внешних планет

7.††††††† “очность птолемеевой модели дл€ внешних планет

8.††††††† ѕодделка данных дл€ внешних планет

√лава†† XII. Ќекоторые второстепенные вопросы

√лава†† XIII. ќценка де€тельности ѕтолеме€

ѕриложение ј. —пециальные термины и обозначени€

ѕриложение Ѕ. ћетод јристарха дл€ нахождени€ размеров —олнца

ѕриложение ¬.  ак ѕтолемей пользовалс€ вавилонским календарем

—писок литературы

6. ћодель ѕтолеме€ дл€ внешних планет

’от€ дл€ ћарса, ёпитера и —атурна ѕтолемей также использует модель экванта (рис. IV.4), но в его трактовке этой модели применительно к внешним планетам есть три существенных отличи€ от трактовки дл€ случа€ ¬енеры.

¬о-первых, ѕтолемей Ђдоказываетї, что апогей ћеркури€ движетс€ со скоростью 1∞ в столетие, и без дальнейших хлопот использует это значение дл€ всех остальных планет. јналогично, он Ђдоказываетї, что два эксцентриситета в модели ¬енеры равны, а дл€ остальных планет он примен€ет это равенство без вс€ких обсуждений.

¬о-вторых, средн€€ долгота внешней планеты св€зана со средней долготой —олнца уравнением (XI.9), а дл€ ¬енеры используетс€ уравнение (XI.8).

¬-третьих, под наибольшей элонгацией дл€ внешней планеты и под наибольшей элонгацией дл€ ¬енеры понимают разные вещи. ƒл€ ¬енеры максимум равен примерно 48∞, а дл€ внешней планеты 180∞. ”словие, при котором элонгаци€ равна 180∞, обычно называют противосто€нием; это значит, что планета и среднее —олнце наход€тс€ в противоположных от «емли сторонах.

ѕусть їP обозначает геоцентрическую долготу внешней планеты, а Dp обозначает ее элонгацию. ќпределение DP у ѕтолеме€ аналогично определению D@- и D@, т. е.

DP = їP- LШ. †††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (XI. 13)

≈сли DP=180∞, € буду говорить, что планета находитс€ в Ђсреднем противосто€нииї.

”казанные различи€ немедленно привод€т к нескольким следстви€м. —вое изучение ¬енеры ѕтолемей начинает с предположени€, что эксцентриситеты е1 и e2 могут различатьс€, и, таким образом, из анализа наблюдений ему надо искать шесть параметров. ƒл€ внешних планет он с самого начала предполагает, что e1=e2=e. » тогда дл€ каждой внешней планеты ему надо найти только п€ть параметров.

ƒругое следствие состоит в том, что внешн€€ планета в действительности находитс€ в перигее, если она находитс€ в среднем противосто€нии. ≈сли посмотреть на рис. IV.4, изображающий модель экванта, то получим, что планета – находитс€ одновременно в положении среднего противосто€ни€ и в той точке эпицикла, котора€ ближе всего к «емле. ƒругими словами, в то врем€, когда точки –, ≈ и среднее —олнце лежат на одной пр€мой, то и точка ¬ лежит на этой пр€мой. ћне такое утверждение не кажетс€ очевидным. ѕтолемей доказывает его как теорему в главе ’.6 Ђ—интаксисаї. ¬ другой работе [ј–ќ, с. 445] € привел это доказательство ѕтолеме€ в общих чертах [1]).

ѕоскольку в момент среднего противосто€ни€ точки ¬, – и ≈ лежат на одной пр€мой, то. в этот момент радиус эпицикла направлен пр€мо на «емлю. ј значит, из среднего противосто€ни€ радиус эпицикла дл€ внешней планеты найти нельз€, хот€ радиус эпицикла ¬енеры из наибольшей элонгации найти можно. — другой стороны, услови€ противосто€ни€ чувствительны к изменению аномалии, а значит, воспользовавшись обратной зависимостью, мы сможем определить аномалию в момент среднего противосто€ни€.

»так, по среднему противосто€нию мы можем определить не те же самые параметры, которые определ€ютс€ из наибольшей элонгации ¬енеры. »з наибольшей элонгации ¬енеры можно найти долготу апоге€, эксцентриситет и радиус эпицикла. »з среднего противосто€ни€ дл€ внешних планет мы находим долготу апоге€, эксцентриситет и аномалию.

—о всеми внешними планетами ѕтолемей обходитс€ абсолютно одинаково. ѕо этой причине € приведу лишь его трактовку движени€ ћарса.

ѕтолемей начинает с трех наблюдений среднего противосто€ни€, всех, €кобы проведенных им самим. ќписание наблюдений он дает в главе ’.7 Ђ—интаксисаї, по всей видимости, в одном-единственном предложении [2]): Ђѕервое мы наблюдали на 15-м году јдриана через 1 равноденственный час после полуночи 26 и 27 египетского мес€ца тиби в 21 градусе Ѕлизнецов; второе - на 19-м году јдриана за 3 часа до полуночи б и 7 дн€ египетского мес€ца фармути в 28;50 градусах Ћьва; третье - на 2-м году јнтонина за 2 часа до полуночи 12 и 13 дн€ египетского мес€ца эпифи в 2;34 градусах —трельцаї.

√овор€ современным €зыком, мы получаем такие противосто€ни€:

1) в 01 час 15 декабр€ 130 г., долгота ћарса была равна 81 градусу;

2) в 21 час 21 феврал€ 135 г., долгота ћарса была равна 148;50 градуса; 3) в 22 часа 27 ма€ 139 г., долгота ћарса была равна 242.;34 градуса. √

“аблица†† XI.3

—редние противосто€ни€ внешних планет, €кобы наблюдавшиес€ ѕтолемеем

ѕланета

ƒата

„ас

ƒолгота, градусы

ћарс

130 дек. 15

01

81;00

135 февр. 21

21

148;50

139 май 27

22

242;34

ёпитер

133 май 17

23

233;11

136 авг. 31

22

337;54

137 окт. 8

05

14;23

—атурн

127 март 26

а

181;13

133 июнь 3

116

249;40

136 июль 8

112

284;14

а ѕтолемей в описании наблюдени€ час не приводит, по все его вычислени€ показывают, что врем€ соответствовало 18 часам.

ƒанные из этих наблюдений и из соответствующих наблюдений ёпитера и —атурна собраны в таблице XI.3. —ледует сделать лишь несколько замечаний. ѕтолемей говорит, что наблюдени€ ёпитера, и —атурна были проведены с помощью астрол€бии, а о наблюдени€х ћарса он этого не говорит; возможно, этому упущению не надо придавать значени€. ¬ наблюдении —атурна от 26 марта 127 г. ѕтолемей опускает час, но, как показывают его вычислени€, он имел в виду 18 часов. ƒл€ большинства наблюдений ѕтолемей не говорит, пользуетс€ ли он ночными часами, или это часы в нашем понимании этого слова (Ђобычныеї, или равноденственные, часы), но его вычислени€ показывают, что подразумевает он обычные часы.

ћы должны рассмотреть, каким образом можно было провести такие наблюдени€. Ќаблюдатель должен иметь представление о том, когда наступит противосто€ние. «а достаточный промежуток времени до ожидаемого момента он измер€ет долготу планеты, вычисл€ет среднюю долготу —олнца на момент наблюдени€ и находит элонгацию DP. ≈сли наблюдатель был достаточно точен в своих действи€х, то планета еще не будет находитьс€ в противосто€нии. ≈сли это так, то он проводит дополнительные наблюдени€ до тех пор, пока не убедитс€, что планета прошла противосто€ние. ѕо моментам наблюдений до и после противосто€ни€ путем интерпол€ции он получает врем€ и обсто€тельства противосто€ни€. » на самом деле, из сказанного ѕтолемеем о противосто€нии 3 июн€ 133 г. вытекает, что момент времени и долготу —атурна дл€ этого противосто€ни€ он получил по наблюдени€м, проведенным до и после времени, данного в описании.

ѕредположим, что значени€ долгот, полученные из наблюдений, округл€лись до ближайшего кратного 5'. ƒолгота, найденна€ интерпол€цией, в общем случае не должна быть кратна 5'. ѕоэтому, хот€ больша€ часть долгот в таблице XI.3 и даетс€ с точностью, недостижимой в наблюдени€х, само по себе это еще не означает подделку. Ќо это не означает и то, что наблюдени€ €вл€ютс€ подлинными. ѕри подделке наблюдений ѕтолемей должен был использовать те же основные приемы. ћомент противосто€ни€ не может быть получен из формулы. ѕодделыва€ наблюдени€, ѕтолемей должен был приблизительно определить врем€ наблюдени€, вычислить їPи LШ и отсюда получить значени€ DP. » так он должен был повтор€ть до тех пор, пока не получил бы моментов времени по обе стороны от противосто€ни€, и в конце концов оценить сфабрикованное врем€, значени€ їP и DP путем интерпол€ции.

ƒл€ каждой планеты ѕтолемей по трем противосто€ни€м находит долготу апоге€ а, эксцентриситет е и аномалию ≥3 в момент третьего противосто€ни€. Ќо это невозможно. ≈сли мы можем найти ≥3, мы также должны уметь находить ≥1 аномалию в момент первого противосто€ни€. ѕодобное утверждение объ€сн€етс€ тем, что с астрономической точки зрени€ направление течени€ времени неважно и не может быть принципиального различи€ между первым и последним наблюдени€ми [3]). ѕоэтому, если мы можем найти значени€ а, е и ≥3, то мы также можем найти ≥1. ћатематическими методами определить четыре параметра по трем наблюдени€м невозможно, а это значит, что мы не можем определить значени€ параметров а, е и ≥3 только по трем наблюдени€м, не име€ никакой дополнительной информации.

ј что же сделал ѕтолемей на самом деле? ќн воспользовалс€, не привлека€ внимани€ к этому факту, значением ≥'. ѕтолемей описывает (мы рассматривали это в разделе ’.5), как углова€ скорость ≥' может быть найдена по тем промежуткам времени, через которые долгота и аномали€ приблизительно повтор€ютс€. “акие вычислени€ ѕтолемей дает в главе IX.3 Ђ—интаксисаї, и приведенные им там значени€ ≥' довольно точные. Ќа самом деле при анализе противосто€ний достаточно использовать не очень точное значение ≥', так как промежуток времени между наблюдени€ми дл€ каждой планеты меньше 10 лет.

ќбозначим теперь через t1, t2 и t3 моменты противосто€ний из таблицы XI.3 дл€ отдельной планеты, и пусть ≥1, ≥2 и ≥3 - значени€ аномалии в эти моменты времени. “огда

1=≥3-≥Ґ(t3-t1),

2=≥3-≥Ґ(t3-t2).

¬ математическое описание трех противосто€ний первоначально вход€т п€ть неизвестных, а именно а, е, ≥1, ≥2 и ≥3. »спользу€ только что выписанные уравнени€, мы можем исключить у ≥1 и ≥2 из списка параметров; остаетс€ только три параметра, которые надо определить из наблюдений.

ƒл€ нахождени€ а, е и ≥3 требуетс€ выполнить достаточно сложные вычислени€, и € не стану занимать здесь место описанием этого метода [4]). „тобы убедитьс€ в том, что € пон€л метод ѕтолеме€, € проделал все вычислени€ дл€ ћарса и получил такие результаты:

а = 115;29,37 градуса,

е = 0,100 003,

3= 171;24,57 градуса.

ƒанное значение е соответствует единичному радиусу деферента. »спользу€ эти наблюдени€, ѕтолемей проделал более тщательную работу, чем в большинстве случаев. ” него получились такие значени€:

а= 115;30 градуса,

e = 0,1, ††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††††† (XI.14)

3=171;25 градуса.

«атем по значени€м ≥3 и ≥' ѕтолемей находит аномалию ћарса в свою фундаментальную эпоху.

ќсталось найти только радиус эпицикла r. »з-за различи€ между внутренними и внешними планетами, о котором мы уже говорили, определение значени€ радиуса эпицикла дл€ внешней планеты аналогично определению значени€ аномалии ¬енеры, и ѕтолемей делает это с использованием наблюдений соединений планет, обсуждавшихс€ в разделе ’.2. јномалию в момент наблюдени€ ѕтолемей может вычислить по g3 из равенств (XI.14), вз€в значение g' из своих таблиц дл€ планет. ѕосле чего значение r можно найти путем несложных вычислений по значени€м долготы планеты и средней долготы —олнца. ѕтолемей получил г=39;30 при условии, что радиус деферента равен 60, или r=0,658 333, если радиус деферента равен 1.

 роме того, дл€ каждой планеты ѕтолемей делает следующее. ќн приводит одно древнее [5]) наблюдение и использует его в дальнейшем изучении аномалии. Ќаблюдени€ такие:

1. »з главы ’.9 Ђ—интаксисаї. ѕтолемей говорит, что утром 18 €нвар€ -271 г. видели, как ћарс коснулс€ звезды (≤ —корпиона. ѕтолемей не говорит, где и кем было проведено наблюдение, и не приводит момента наблюдени€. ќднако суд€ по его вычислени€м, он €вно исходит из того, что наблюдение было проведено на восходе —олнца в јлександрии. »з описани€ наблюдени€ ѕтолемей выводит, что долгота ћарса была равна 212;15 градуса, средн€€ долгота —олнца равн€лась 293;54 градуса, а аномали€ ћарса была равна 109;42 градуса.

2. »з главы XI.3 Ђ—интаксисаї. ѕтолемей говорит, что утром 4 сент€бр€ -240 г. ёпитер покрыл звезду S –ака. —нова он не называет ни наблюдател€, ни места, ни момента наблюдени€. ќн предполагает, что наблюдение было сделано на восходе —олнца в јлександрии. »з описани€ ѕтолемей выводит, что долгота ёпитера была равна 97;33 градуса, значение было равно 159;56 градуса, а аномали€ ёпитера была равна 77;02 градуса.

3. »з главы XI.7 Ђ—интаксисаї. ѕтолемей говорит, что вечером 1 марта -228 г. —атурн был в 2 единицах [6]) к югу от звезды у ƒевы. ћоментом наблюдени€ он считает заход —олнца в јлександрии. ѕтолемей выводит, что долгота —атурна была равна 163; 10 градуса, среднее —олнце имело долготу 336; 10 градуса и аномали€ —атурна равн€лась 183,17 градуса [7]).

Ќа примере ёпитера € покажу, как ѕтолемей использует эти наблюдени€. ¬ начале главы XI.3 Ђ—интаксисаї он говорит, что среди всех древних наблюдений ёпитера он выбрал наблюдение 2, как одно из наиболее точных, и что он воспользуетс€ этим наблюдением дл€ нахождени€ параметра, который мы назвали ≥'. ќпределив аномалию в момент этого наблюдени€, ѕтолемей сравнивает ее с аномалией в момент третьего противосто€ни€ (8 окт€бр€ 137 г.) ёпитера (см. таблицу XI.3). ќн получил, что между двум€ наблюдени€ми прошло 377 египетских лет [8]) плюс 127 суток плюс 23 часа и аномали€ за этот промежуток изменилась на 345 полных оборота плюс 105;45 градуса. «атем ѕтолемей говорит, что полученное изменение аномалии хорошо согласуетс€ со значением, найденным из таблиц (таблицы к тому моменту он уже дал).

ѕтолемей, мне кажетс€, использует такие формулировки и здесь, и в главе IX.3 Ђ—интаксисаї, которые создают впечатление, что он находит ≥' из приведенных им наблюдений. Ќо, как мы уже видели, из наблюдений его значение ≥' дл€ ћеркури€ или ¬енеры не получаетс€, и то же самое можно сказать в случае внешних планет. Ќапример, дл€ ёпитера изменение аномалии составило 124 305 3/4 градуса, интервал времени равен 137 732 23/24 суток, так что скорость изменени€ аномалии равна 0,902 512 7430 градуса в сутки. ¬ шестидес€теричных обозначени€х получаем

≥'=0;54,9,2,45,8,57 градуса в сутки.

ј при составлении своих таблиц дл€ ёпитера ѕтолемей брал ≥'=0;54,9,2,46,26,0 градуса в сутки.

ѕтолемей мог сделать в каждом из п€ти случаев ошибку при делении, но вр€д ли такое предположение выгл€дит правдоподобным.



[1] ¬ гелиоцентрической теории точка – изображает «емлю, а точка ≈ - внешнюю планету. ”тверждение, которое нужно доказывать как теорему в геоцентрической теории, становитс€ тавтологией в гелиоцентрической теории [см. ј–ќ, раздел XIII.6].

[2] я не знаю, насколько точно деление на предложени€, абзацы и главы в современных издани€х отражает текст оригинала.

[3] —трого говор€, в —олнечной системе существует трение, и поэтому есть определенное направление течени€ времени. Ќо суммарный эффект трени€ на движени€ планеты со времени расцвета греческой астрономии примерно равен среднему квадратичному отклонению греческих наблюдений. “ак что в данном случае мы, конечно, можем пренебречь трением. (јвтор имеет в виду сопротивление межпланетного вещества движению планет.- ѕримеч. ред.)

[4] Ётот метод дан в ј–ќ, раздел XIII.6.

[5] јвтор имеет в виду доптолемеевскую эпоху. (ѕримеч. ред.)

[6] ¬ записи, аналогичной этой, единица означает 1/12 градуса, т. е. 5'.

[7] Ќаблюдени€ ёпитера и —атурна согласуютс€ с современными расчетами настолько хорошо, как можно ожидать. Ќо в момент наблюдени€ ћарса планета находилась примерно в 50' от |5 —корпиона [ј–ќ, раздел XII.4], и вр€д ли такое расположение назвали бы касанием. Ќо ћарс и звезда почти касались друг друга утром 16 €нвар€ -271 г., так что, возможно, была неверно записана дата, или же ѕтолемей неправильно прочел ее. ¬ своих вычислени€х ѕтолемей, вне вс€кого сомнени€, использует дату 18 €нвар€ -271 г.

[8] Ќапоминаем, что в египетском году ровно 365 суток.

Hosted by uCoz