Глава II
ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА
... and then the different branches of Arithmetic
- Ambition, Distraction, Uglification, and Derision.
Lewis С а r r о l l [1]
1. Греческая арифметика
За прошедшие 2 000 лет человеческая натура не изменилась, и грекам, так же как и нам, не были чужды честолюбие, рассеянность и насмешливость, но я не уверен насчет обезображивания. И что еще более важно, они хорошо владели основными арифметическими действиями.
В современных переводах астрономических работ древних греков или при обсуждении этих работ часто пользуются привычной для нас записью чисел. Между тем иногда именно знание и понимание соответствующей формы, в которой греческий астроном записывал числа, является существенным в понимании того, что он делал. По этой причине в моей работе и отведено некоторое место греческим цифрам. Как оказывается, это единственный раздел, который нам надо изучить в том виде, в каком он входил в греческую арифметику.
Две тысячи лет назад греческий алфавит состоял из 24 букв. К этим 24 буквам нужно добавить еще три специальных знака; итого получается 27 символов [2]). Первый дополнительный символ вставляется между µ и ¶, следующий - между А и Б и последний стоит за Й. Первые девять символов из этого расширенного множества обозначали у греков целые числа от 1 до 9, следующие девять использовались для обозначения чисел, кратных 10, т. е. для 10, 20 и т. д. до 90. Последние девять символов обозначали числа, кратные 100 [3]).
С помощью этих символов греки могли записывать целые числа до 999. Их система записи в чем-то сходна с позиционной. Например, числу 237 соответствует Г»¶. Символы записывались слева направо, начиная с наибольшего. Но значение символа определяется не его местом в записи числа, а тем множеством, из которого этот символ взят. Это хорошо видно на примере чисел, содержащих нули. Так, число 207 записывалось как Г¶, а число 230 - как Г».
Чтобы записывать числа, большие 999, греки снова используют первую группу из девяти символов для обозначения первых девяти чисел, кратных 1 000. Так, в разделе VIII.7 мы увидим, что у Птолемея встречается число 1 210; он записывает его как ±Г№. Итак, теперь можно записывать числа до 9 999. Большие числа нам не понадобятся, так что я и не буду описывать систему их записи, отмечу лишь, что она сложнее.
Если цифры появлялись в предложении, как это было в предыдущих абзацах, то чтобы отличать слова от чисел, греки ставили либо черточку над соответствующим символом, либо знак ударения рядом с ним.
Дроби греки записывали двумя способами. Во-первых, они использовали простые дроби, но далеко не все. Кроме 2/3 и 2/5 я встречал лишь дроби с единицей в числителе. Дробь 2/3 обозначалась специальным символом, дробь же 2/5 описывалась словами. Все дроби, кроме 2/3 и 2/5, обозначались тем же самым символом, что и число в знаменателе, но после него ставился знак, показывающий, что это не целое число, а дробь. Так, 1/4 могла быть записана как ґ", где ґ обозначает число 4, а по знаку " мы определяем, что это дробь [4]). Во-вторых, греки использовали позиционную систему, абсолютно аналогичную нашей, только вместо 10 за основание они брали 60. Нам часто придется записывать числа в этой шестидесятеричной системе. Сейчас постараюсь объяснить принцип такой записи. Проще всего показать это на примере. Рассмотрим число
359*600+45*60-1+24*60-2+45*60-3+21*60-4+8*60-5+35*60-6.
Его мы будем записывать так: 359; 45,24,45,21,8,35 [5]). Точка с запятой отделяет целую часть числа от коэффициентов при отрицательных степенях 60, запятые же отделяют друг от друга эти коэффициенты.
Греческий астроном использовал бы, конечно, свои цифры для записи всех разрядов этого шестидесятеричного числа. Между разрядами он мог просто оставить промежутки, выделив некоторым специальным знаком целую часть (коэффициент при 60°). Отделив коэффициенты друг от друга промежутками, он мог поставить черточки над некоторыми из них. Мог он также нарисовать черту над целой частью, а другие коэффициенты отметить штрихами. В этом последнем случае запись получилась бы такая: ДЅё јµ'Зґ''јµ "' З± ""·"'"»µ""".
Видимо, отсюда пошел наш способ записи углов или времени суток. Число минут - это число в первом дробном разряде, а число секунд - число в следующем разряде. Аналогичным образом можно было бы ввести свои названия для единиц третьего разряда, четвертого и т. д. Тогда наше число читалось бы так: 359 градусов плюс 45 «первых единиц» (или минут), 24 «вторые единицы» (или секунды), 45 «третьих единиц», 21 «четвертая единица», 8 «пятых единиц», 35 «шестых единиц».
Как и многое другое в астрономии, эти обозначения греки переняли у вавилонян. Надо отметить, что, естественно, кроме введения собственных цифр, греки существенно изменили запись целой части числа в вавилонской системе. Греки обычно записывали целую часть числа в своей «десятичной» системе (эта система записи была пояснена немного выше). Вавилоняне же использовали шестидесятеричные обозначения и для записи целой части. Так, в нашем примере до точки с запятой они поставили бы в своих обозначениях эквивалент записи 5,59 (5*601+59*600), а не 359 [6]).
Шестидесятеричная система и в вавилонских записях позднего периода, и в греческих записях была настоящей позиционной системой, поскольку в ней использовался нуль. Однако он использовался лишь в той части записей, которую можно отнести к шестидесятеричной системе, но никак не к десятичной. Поясню, что имеется в виду. Рассмотрим число 3;0,20. Сейчас будем писать просто «нуль» вместо специального греческого символа для обозначения нуля. Итак, греческий астроном мог бы записать это число как і нуль 'З". Вместо пустого шестидесятеричного разряда (в данном случае первого после точки с запятой) он поставил нуль. Но за З (20) не будет стоять никакого нуля в пустом втором десятичном разряде.
Объясним это несколько по-другому. В любом шестидесятеричном разряде (в первом, втором и т. д.) может стоять любое число от 0 до 59 (если пользоваться нашими обозначениями). И в том случае, когда это число равно 0, греческий астроном запишет соответствующий специальный символ. Однако для чисел от 1 до 59 он пользуется ранее описанной алфавитной нумерацией.
Было предположение, что греческое обозначение нуля - это первая буква слова «їЕґµЅ»-«ничто». Тогда символ нуля будет простым кружком, как и наш 0. Однако сомнительно, чтобы для обозначения нуля ввели какую-либо букву греческого алфавита, поскольку все буквы уже приписаны другим числам; в частности, о соответствует 70. К тому же простой кружок используется для обозначения нуля только в греческих записях византийского периода [Нейгебауер, 1968, с. 29]. В интересующий нас период нуль имел различные формы. Одна из этих форм такая: O. Ее можно интерпретировать как о (омикрон) с чертой сверху, чтобы этот символ отличался бы от символа для обозначения числа 70. Но следует обратить внимание на другие, возможно, более древние символы, такие как 
или похожие на него.
Возможно, мы никогда не узнаем происхождения обозначения нуля кружком, но вполне правдоподобно предположение, что это лишь способ обозначать «ничто».
Наши цифры часто называют арабскими, но в действительности они индийские по происхождению. Интересно, что индийская форма нуля тоже простой кружок [Смит и Гинзбург, 1956]. В настоящих арабских цифрах сейчас (и в средние века) нуль обозначается жирной точкой, а простой кружок обозначает цифру 5.
Греческие цифры, включая и те их формы, о которых здесь ничего не говорилось, подробно рассмотрены в книге Нейгебауера [1968, глава I]; там можно найти и дополнительную литературу. Цифры рассмотрены и в работе Смита и Гинзбурга [1956]; в этой работе приведены интересные рассуждения о таких применениях цифр, когда римские цифры оказываются более удобными, чем современные.
В цитатах из греческих текстов при записи дробей я буду следовать оригиналу, только вместо греческих буду пользоваться современными цифрами. Если в оригинале дроби описаны словами, я буду давать такое же описание; если дроби записаны в шестидесятеричной системе, то я их запишу в этой системе; если они записаны в простых дробях, то я буду использовать почти такую же форму записи. Отличие состоит в следующем: у греческих астрономов редко можно встретить дроби с числителем, отличным от единицы, поэтому вместо одной дроби они часто писали сумму дробей. Например, у них могла встретиться такая запись: 1/2+1/4. В этих случаях я заменяю сумму на одну, равную ей дробь. То есть вместо 1/2+1/4 я буду писать-3/4 [7]).
