2. Греческая геометрия
И в области планиметрии, и в стереометрии греки были выдающимися геометрами. Знаменитый геометрический труд Евклида, написанный около -300 г., по сути дела до сих пор не знает себе равных, хотя в последнее время некоторые педагоги пытались найти более эффективные методы обучения геометрии.
Вавилоняне и египтяне, а возможно, и другие более древние народы, чем греки, обладали обширными познаниями в геометрии. Греки достигли большего, но отличительной чертой их знания является, по-видимому, роль логического доказательства. Предшествующее геометрическое знание было, вероятно, в основном, если не полностью, прагматическим.
Как мы увидим, теоретическая структура греческой астрономии была по своей основе геометрической. Греческие астрономы постулировали, что небесные тела движутся в соответствии с определенными геометрическими моделями (глава IV). Задача, которую они сами себе ставили, состояла в отыскании этих моделей из анализа астрономических наблюдений. В большой степени это было процессом решения геометрических задач.
Позже мы приведем характерные примеры. Здесь же обратим внимание на один класс задач, решенных греками. Треугольник полностью определяется шестью величинами, а именно длинами трех его сторон и размерами трех его углов. Грекам, как мы знаем, было известно, что если определить три величины, то затем, за исключением двух случаев, можно вычислить и три остальные.
Первое исключение соответствует заданию трех углов. Предположим, мы нарисовали отрезок длиной 10 сантиметров, и на его противоположных концах построили какие-нибудь два из заданных углов. Наш отрезок будет общей стороной этих двух углов, другие же стороны пересекутся в некоторой точке, и мы получим треугольник с заданными углами. Однако с самого начала мы могли взять отрезок длиной 20 сантиметров и получить треугольник с теми же самыми углами, но все его стороны были бы в два раза длиннее. Иначе говоря, одной из задаваемых величин должна быть сторона треугольника.
Другое исключение возникает в том случае, когда заданы две стороны и угол, но он не является углом между заданными сторонами. Если читатель попробует построить треугольник по этим данным, то он должен увидеть, что существуют два и только два треугольника, удовлетворяющие условиям.
Таким образом, за исключением этих двух случаев, треугольник полностью определяется только тремя величинами. Эти величины могут быть заданы произвольно, лишь бы при этом не нарушались фундаментальные законы геометрии.
Задача, являющаяся центральной для понимания некоторых астрономических результатов Птолемея, состоит в нахождении углов по заданным трем сторонам. Метод, которым Птолемей решает эту задачу в главе VI.7 «Синтаксиса», показан на рис. II.1; вероятно, это стандартный для греческой геометрии прием.
На рис. II.1 буквы А, В и С обозначают три угла, которые надо найти; буквы а, b и с обозначают три заданные стороны. Сторона а лежит против угла A, b - сторона, противолежащая углу В, и сторона с лежит против угла С. Чтобы не загромождать рисунок, букву с я на нем не поставил. Считаем, что с обозначает самую длинную сторону [1]), и пусть перпендикуляр f, опущенный из С, делит сторону с на части d и е. Пусть а обозначает самую короткую сторону. Применив теорему Пифагора к треугольникам ACD и BCD, мы найдем, что f2=b2-d2=a2-е2; следовательно,
d2-e2=b2-a2. (II.1)
Поскольку а и bзаданы, то нам известна и разность d2-е2. Кроме того, мы знаем, что
d+e=c, (П.2)
и эта сумма нам также известна, поскольку сторона с задана. Разделив уравнение (II.1) на уравнение (II.2), мы получим
d-e= (b2-а2)/с. (II.З)
Из уравнений (II.2) и (II.3) несложно найти d и е; зная d и e, мы найдем f. И тогда A=arcsin (f/b), B=arcsin(f/a) и С=180°-A-В.
Греческие математики проделали выдающуюся работу не только в области планиметрии, но и в стереометрии. Однако нам, кроме некоторых элементарных результатов из сферической тригонометрии, здесь стереометрия не потребуется.
