ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода

Предисловие автора

Глава   I. Объяснение явлений в астрономии

Глава   II. Греческая математика

Глава   III. Земля

Глава   IV. Строение мира

Глава  V. Солнце и связанные с ним вопросы

Глава   VI. Долгота полной Луны

Глава   VII. Долгота Луны в любой фазе

Глава  VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них

Глава   IX. Звезды

Глава   X. Движение Меркурия

1.        Модель Птолемея для орбиты Меркурия

2.        Пять соединений планет с Луной

3.        Птолемеевы параметры для орбиты Меркурия

4.        Точность птолемеевой модели Меркурия

5.        Подделка данных

6.        Две другие возможные модели для Меркурия

 

Глава   XI. Венера и внешние планеты

Глава   XII. Некоторые второстепенные вопросы

Глава   XIII. Оценка деятельности Птолемея

Приложение А. Специальные термины и обозначения

Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца

Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем

Список литературы

4. Точность птолемеевой модели Меркурия

 

В разделе XIII.8 АРО я составил две вычислительные программы. Одна вычисляла геоцентрическую долготу Меркурия по теории Птолемея, а другая - по теориям Ньюкома для Меркурия и для Солнца [Ньюком, 1895а и 1895]. По этим программам было получено значение долготы на 51 момент времени с промежутком в 80 суток. В качестве среднего момента в этих расчетах я взял полдень 20 июля 137 г. У Птолемея часто можно встретить такую эпоху, и она соответствует середине его астрономической деятельности. К птолемеевой долготе апогея я прибавил 1,1°, поскольку все долготы у Птолемея примерно на такую величину меньше, чем нужно. С достаточной степенью точности можно считать, что за весь промежуток в 4000 дней и Меркурий, и Земля, сделали целое число обращений вокруг Солнца.

Наибольшая погрешность, полученная при сравнении выборки из 51 значения, полученного по теории Птолемея, со значениями, полученными по теориям Ньюкома, равна 7,84°. Такая погрешность соответствует центральной дате, использованной для сравнения, 20 июля 137 г. Среднее квадратичное отклонение погрешности составило 2,99°.

В разделе VII.8 я уже упоминал высказывание Дрейера о том, что теории Птолемея настолько точно представляют движения в солнечной системе, насколько наблюдатель (времен древних греков) мог следить за ними [Дрейер, 1905, с. 200]. Мне трудно поверить, что Дрейер изучал точность моделей Птолемея. Как мы видели, утверждение Дрейера не подходит ни для Солнца, ни для Луны. Теперь мы видим, что погрешности птолемеевой модели Меркурия можно характеризовать только как большие. Среднее квадратичное отклонение координат в звездном каталоге, например, составляет всего лишь около 20' по каждой координате (раздел IX.2). Это можно принять за точность, с какой греческие наблюдатели могли следить за планетами. Среднее квадратичное отклонение в модели Птолемея для Меркурия почти точно равно 3°, т. е. почти в десять раз превышает точность наблюдений.

Затем я начал изменять параметры в модели Птолемея до тех пор, пока не нашел значения, сводящие к минимуму среднее квадратичное отклонение. Результаты такого исследования собраны в таблице Х.2 [1]). В первом столбце этой таблицы назван параметр, второй столбец дает значение этого параметра, найденное Птолемеем. Здесь я сделал два отступления от практики Птолемея при рассмотрении движения Меркурия.

 

 

Таблица Х.2

Сравнение птолемеевых параметров для Меркурия с «наиболее подходящими» значениями

 

Параметр

Значение у Птолемея

«Наиболее подходящее» значение

Долгота апогея, градусы

 

191,1б

 

219,013

 

Скорость   движения   апогея,   градусы в

столетие

1,00

~1,6В

Первый эксцентриситет (e1)

 

0,049900

 

0,085738

 

Второй эксцентриситет (е2)

 

0,049900

 

-0,015 284

 

Длина «кривошипа» (е3)

 

0,049900

 

0,012025

 

Радиус эпицикла

 

0,375090

 

0,376704

 

Аномалия в эпохуа, градусы

 

189,430

 

187,195

 

Скорость   изменения   аномалии, градусы в сутки

 

3,106699043

 

 

3,106404735

 

 

 

аПолдень, время Александрии, 20 июля 137 г. бСоотнося значения ошибочному положению равноденствия, Птолемей получил 190°. Чтобы соотнести апогей правильному равноденствию, я прибавил 1,1°. BПри подборе наиболее подходящих параметров это значение не рассматривалось.

 

Длина «шатуна» BF (рис. Х.З) кажется мне более фундаментальным свойством модели, чем расстояние АЕ. Поэтому, вместо того чтобы соотносить все расстояния расстоянию АЕ, я соотношу их длине r «шатуна» BF и считаю длину r равной не 120, а 1. Это близко ко второму нормированию, проведенному Птолемеем.

В третьем столбце таблицы Х.2 даны значения параметров, приводящие к наилучшему сточки зрения точности варианту данной модели. При использовании этих значений наибольшая погрешность падает с 7,84° до 3,26°, а среднее квадратичное отклонение уменьшается с 2,99° до 1,70°. Но даже с «самыми подходящими» значениями параметров модель и близко не подходит к такому описанию движения Меркурия, которое не уступало бы той точности, с какой греческие наблюдатели могли следить за его движением.

Новые значения параметров также представляют интерес. Например, значение долготы апогея почти на 30° больше значения, найденного Птолемеем. В этом случае из-за большой эксцентричности орбиты Меркурия (рис. Х.1) определить апогей Меркурия проще, чем найти апогей почти круговой орбиты Венеры. И все же, как мы увидим в разделе XI.4, Птолемей определяет долготу апогея Венеры с ошибкой лишь в 4°, в то время как ошибка при определении положения апогея Меркурия составляет почти 30°. Надо выяснить происхождение этой аномально большой ошибки, но я отложу это до раздела Х.5.

Следует отметить, однако, что с точки зрения точности его модели ошибка в положении апогея не является самой серьезной. Я постарался узнать, что же получится, если менять только значение долготы апогея, а всем остальным параметрам оставить значения, найденные Птолемеем. В этом случае наилучшая точность достигается при значении долготы апогея, равном 219,6° (почти такое значение и стоит в таблице Х.2). Среднее квадратичное отклонение получается равным 2,54°. Так что даже «самое подходящее» значение положения апогея не сильно увеличит точность модели, если не менять остальные параметры.

«Наиболее подходящие» значения радиуса эпицикла, аномалии в эпоху 20 июля 137 г. и скорости изменения аномалии близки к значениям Птолемея. Самые большие погрешности получаются, если использовать найденные Птолемеем значения для трех эксцентриситетов. Значения трех эксцентриситетов даже приблизительно нельзя считать равными. «Наиболее подходящее» значение e1 намного больше, чем значение этого параметра у Птолемея, а значения e2 и e3 намного меньше. Более того, «наиболее подходящее» значение для e2 отрицательно. А это значит, что на соответствующей модели (рис. Х.3) точка D должна быть не выше точки Z, а ниже этой точки.

«Наиболее подходящие» значения e2 и e3 очень маленькие. Поэтому я и попробовал, что получится, если все остальные параметры взять из третьего столбца таблицы Х.2, а эти два параметра положить равными нулю. В этом случае среднее квадратичное отклонение возросло с 1,70° лишь до 1,73°; незначительное изменение.

Таким образом, вместо своей модели Птолемей должен был использовать простую модель, изображенную на рис. Х.8. Эта модель соответствует тому случаю, когда мы считаем параметры e2 и e3 равными нулю. Круг, по которому на рис. Х.3 движется точка F, сжался в точку D, а сама точка Dсовпадает теперь с точкой Z. Вот мы и получили простую модель эксцентра, которая описывает движение центра эпицикла, точки В.

Интересно отметить, что модель на рис. Х.8 все еще сохраняет одно важное свойство, которое Птолемей хотел описать своей моделью. Это существование пар значений LQ, которым соответствуют наибольшие и наименьшие значения D@. Эти пары значений показаны на рис. Х.2. Как видно из этого рисунка, в эпоху Птолемея наибольшая восточная элонгация D@ соответствовала LQ= 100°, а наибольшая западная элонгация соответствовала LQ=339°. To же самое мы видим и для

 

Рис. Х.8. Модель движения Меркурия. Птолемею надо было использовать эту модель. Если рассмотреть все модели, которые можно получить из «кривошипно-шатунной» (рис. Х.З), то точность данной модели будет почти наилучшей из возможных. Заметим, что «кривошип» на рис. Х.З теперь сжался в одну точку. Другими словами, «кривошипно-шатунная» модель не увеличивает точность. Наоборот, она мешает получить хорошую точность

 

наименьших значений: наименьшая восточная элонгация в эпоху Птолемея была при LQ=274°, а наименьшая западная - при LQ=145°. На рис. Х.9 показано, какие значения D@ получаются в простой модели, изображенной на рис. Х.8. Для этой модели все параметры, кроме е2 и е3, взяты из таблицы Х.2, a e2=e3=0. На рис. Х.2 и Х.9 наибольшим и наименьшим значениям D@ соответствуют примерно одинаковые значения LQ, но общее колебание значений D@ на рис. Х.9

 

Рис. Х.9. Наибольшая элонгация Меркурия D@ как функция средней долготы Солнца LQ. Зависимость определяется моделью, изображенной на рис. Х.8. Рис. Х.9 хорошо согласуется с зависимостью, показанной на рис. Х.2. Напомним, что рис. Х.2 получен с помощью значений, вычисленных по современной теории. Основным моментом является то, что «кривошипно-шатунный механизм» из модели Птолемея вовсе не нужен для описания самого удивительного свойства движения Меркурия. Наличие двух максимумов и двух минимумов порождается эксцентром, а не «кривошипом»

 

больше. Это значит, что при условии е23=0 «наилучшее значение» для ег несколько меньше, чем значение в таблице Х.2. Не следует удивляться тому, что нужно немного изменить значение е1. Ведь при составлении таблицы Х.2 наложенные здесь ограничения (е23=0) не рассматривались.

Самой характерной чертой модели Птолемея является «кривошипно-шатунный механизм». Однако, как показывает рис. Х.9, вовсе не этот механизм служит причиной существования пары наибольших и пары наименьших значений D@; этот механизм к данному явлению отношения не имеет. Существование пар экстремальных значений обусловлено эксцентром, поэтому мы получим пары значений даже в том случае, если совсем откажемся от «кривошипа».

В эпоху Птолемея не было математической теории, необходимой для составления таблицы Х.2. И если мы хотим заниматься непосредственно работой Птолемея, а не установлением степени точности его теории, мы должны сравнить его модель с тем, что он мог бы получить на основе имевшихся в то время зна