2. Точность определения моментов равноденствий и солнцестояний
Отметим сперва, что в таблице V.1 суммарная продолжительность времен года, приписываемых Эвктемону, равна 365 суткам, а по данным Гиппарха получаем 365 1/4 суток. Ни в одном случае суммарная продолжительность времен года не дает той точности, с какой была известна продолжительность года. Рассмотрим сначала данные Эвктемона.
В соответствии с несколькими античными источниками в -431 г. в Афинах Метон представил календарь, в котором продолжительность года была равна 365+1/4+1/76 суток. Для астрономических целей этот календарь, возможно, и использовался, но сомнительно, чтобы он когда-нибудь использовался в Афинах как гражданский календарь [1]). Поскольку Эвктемон работал вместе с Метеном, он, несомненно, знал, что год заметно длиннее 365 суток. Поэтому можно не сомневаться, что приписываемые Эвктемону продолжительности времен года (см. таблицу V.1) были получены округлением до целого числа суток.
Аналогичная ситуация и с данными Гиппарха. Используя данные, о которых будет рассказано в разделе V.3, Гиппарх получил, что продолжительность года равна 365+1/4-1/300 суток. Возможно, он не знал, как разделить между временами года дробь 1/300, и поэтому взял такие продолжительности времен года, которые в сумме давали 365 1/4 суток.
Средняя квадратичная погрешность для продолжительности времен года у Эвктемона равна 0,78 суток, а у Гиппарха она равна 0,38 суток, примерно в два раза меньше. Продолжительность времени года получается как разность двух наблюдаемых моментов: наблюдаемых моментов начала и конца времени года. Статистически средняя квадратичная погрешность разности равна 2, умноженному на среднюю квадратичную погрешность уменьшаемого и вычитаемого. Таким образом, средняя квадратичная погрешность определения моментов равноденствий и солнцестояний у Эвктемона составляет около 0,55 суток, а у Гиппарха 0,27 суток [2]).
Но приведенные вычисления основаны на том, что моменты равноденствий и солнцестояний можно определить с одинаковой точностью. Однако измерения моментов равноденствий и солнцестояний основываются на различных явлениях, и нет оснований для такого предположения. При определении момента солнцестояния мы измеряем время, когда полуденная высота Солнца имеет экстремальное значение, максимальное летом и минимальное зимой. Около экстремума высота меняется медленно и нахождение экстремума требует умения различать малые изменения. Это означает, что момент солнцестояния нельзя определить достаточно точно.
С другой стороны, при измерении момента равноденствия мы определяем момент, когда полуденная высота принимает определенное значение. Кроме того, около этого значения высота изменяется быстрее всего и момент равноденствия определяется довольно точно.
По этим причинам многие авторы, писавшие об античной астрономии, утверждали, что у греков точность определения моментов равноденствий намного лучше, чем точность определения моментов солнцестояний. Но здесь смешаны два понятия точности. Поясним разницу. Пусть мы измеряем длину, скажем, пятидесятисантиметрового отрезка с помощью метровой линейки, размеченной в миллиметрах. Нам не трудно оценить длину до десятой доли деления, хотя здесь будет некоторая неопределенность. В серии тщательно проделанных измерений мы ожидаем, что получаемые числа отличаются от среднего значения на 0,1 мм и что лишь немногие результаты измерения, если такие вообще найдутся, отличаются на 0,2 мм или больше. Этот разброс вокруг среднего значения мы называем точностью измерения; в данном примере такая точность равна примерно 0,1 мм.
Однако если имеется систематический фактор, влияющий на всю серию измерений, отдельные измерения могут и не находиться в пределах 0,1 или 0,2 мм от правильного значения. Предположим, что наша «метровая» линейка на самом деле имеет длину 101 см. Тогда каждое отдельное измерение всего отрезка имеет погрешность, в среднем равную 0,5 см (5 мм). Это - достоверность измерения в предполагаемом эксперименте.
Можно сказать примерно следующее: точность измерения дает нам размеры случайных погрешностей измерения, а достоверность дает нам результирующую имеющихся и случайных, и систематических погрешностей. Достоверность измерений никогда не может быть лучше их точности, а в большинстве реальных ситуаций она значительно хуже.
Вернемся к измерению момента солнцестояния. Мы должны определить только то время, когда полуденная высота Солнца имеет экстремум. Нам не надо измерять значение высоты в экстремальном положении, и найденное время не зависит от ошибок конструкции или настройки приборов, по крайней мере, от ошибок допустимых размеров. Я не могу придумать такую ошибку, которая могла бы систематически влиять на достоверность определения момента солнцестояния. Здесь мы имеем один из тех редких случаев, когда достоверность измерения и его точность совпадают. Для определения момента равноденствия это не так.
Чтобы найти момент равноденствия, мы должны начать с измерения углов высоты Солнца в солнцестояниях, а при определении моментов самих солнцестояний этого делать не надо. Затем мы должны определить положение, делящее пополам угол между двумя солнцестояниями и, наконец, должны измерить те моменты, когда Солнце проходит эти положения. Погрешности при измерении высот в солнцестояниях и при построении биссектрисы порождают систематические погрешности при нахождении равноденствий, и поэтому достоверность при определении моментов равноденствий хуже теоретически достижимой точности таких измерений.
Чтобы оценить погрешности, полученные для равноденствий и солнцестояний, мы должны изучить их отдельно друг от друга. Интервалы между двумя последовательными солнцестояниями и двумя равноденствиями равны суммарной продолжительности соответствующих времен года [3]). Результаты приведены в таблице V.2, которая построена по данным таблицы V.I. В таблице V.2 буквами ЛС и ЗС обозначены летнее и зимнее солнцестояния, а буквы ВР и ОР означают весеннее и осеннее равноденствия. В дальнейших пояснениях, как мне кажется, таблица V.2 не нуждается [4]).
Таблица V.2
Интервалы от солнцестояния до солнцестояния и от равноденствия до равноденствия, полученные греческими астрономами
|
Наблюдатель
|
Интервал (в сутках)
|
|||
|
от ЛС до ЗС
|
от ЗС до ЛС
|
от ВР до ОР
|
от ОР до ВР
|
|
|
Эвктемон Гиппарх Современныеа
|
181 180 5/8 181,0
|
184 184 5/8 184,3
|
187 187 186,4
|
178 178 1/4 178,9
|
aИз-за округления сумма этих величин немного больше длины года
Обозначения: ЛС-летнее солнцестояние, ЗС-зимнее солнцестояние, ВР-весеннее равноденствне, ОР - осеннее равноденствие
Рассмотрим сначала интервал между солнцестояниями. Эвктемон здесь ошибся соответственно на 0,0 и 0,3 суток, а Гиппарх - на 0,375 и 0,325 суток. Ошибки у Эвктемона получились меньше, но частично это, по-видимому, объясняется тем округлением, какое сделано в данных Эвктемона. Несомненно одно: измерения Эвктемона не хуже, чем измерения Гиппарха, хотя и были проведены тремя столетиями раньше. Для большей надежности я предполагаю, что погрешности у Эвктемона и у Гиппарха при определении моментов солнцестояний одинаковые и равны 0,35 суток (средняя погрешность у Гиппарха). Поскольку соответствующие интервалы находятся вычитанием двух измеренных моментов времени, то ожидаемая погрешность в одном измерении момента солнцестояния равна
0,35/2 = 0,25 суток,
или 6 часов [5]).
Есть подтверждение такой оценке. Аристарх Самосский измерял момент летнего солнцестояния -279 г. и нашел, что это солнцестояние пришлось на 18 часов местного времени 26 июня -279 г. [6]). Гиппарх измерял момент солнцестояния -134 г. и нашел, что солнцестояние было в полдень местного времени на Родосе 26 июня -134 г. Используя самые точные оценки, какие можно получить из современной теории Солнца [АРО, раздел V.3], мы находим, что у Аристарха время указано на 7 часов раньше, а у Гиппарха - на 8 часов позже, чем должно было быть. Эти результаты наилучшим образом согласуются с только что полученной оценкой. Поэтому в дальнейшем при изучении греческой астрономии я беру предполагаемую ошибку при измерении момента солнцестояния равной 7 часам.
Обязательно нужно отметить, что Эвктемон достиг такой точности около -430 г. И за целое тысячелетие, которое еще оставалось греческой астрономии, не было получено никакого улучшения этой точности.
Рассмотрим теперь интервалы между равноденствиями. Здесь ошибка у Эвктемона больше, чем у Гиппарха, но не намного. И мы не будем так уж неправы, если скажем, что и у Эвктемона, и у Гиппарха погрешность в интервале между равноденствиями составляет 0,625 суток, или 15 часов. Как мы видели раньше, в суммарной погрешности при определении моментов равноденствий преобладают, вероятно, систематические погрешности, а не случайные, и налицо такая тенденция, что погрешности для весеннего и осеннего равноденствий равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Поэтому, чтобы получить погрешности при определении момента отдельного равноденствия, мы должны погрешность, полученную для интервала, делить не на 2, а на 2. Итак, у греков при определении момента отдельного равноденствия была погрешность около 7 1/2 часов, немного больше, чем для солнцестояния.
Возможно и случайно, но точность определения моментов солнцестояний и равноденствий у греческих астрономов была примерно одинаковой, приблизительно равной 7 часам. Эвктемон достиг такой точности уже в -430 г., и эта точность в греческой астрономии никогда не была улучшена. Такая точность представляется нам совершенно недостаточной, особенно, если речь идет о равноденствиях. Тщательно проведенные наблюдения должны были дать более точные результаты.
