Глава XIII.4

4. Точность птолемеевых теорий и таблиц

В предыдущих частях своей книги я определил точность птолемеевых теорий и. (или) таблиц для Солнца, Луны, звезд и планет. Полезно собрать все эти результаты в одном месте, и это сделано в таблице XIII.3. Поскольку не все результаты, внесенные в таблицу XIII.3, получены одинаково, необходимо дать некоторые пояснения.

Таблица XIII.3

Точность теорий Птолемея

Небесное тело

Среднее квадратичное отклонение, градусы

с параметрами Птолемея

с «наиболее подходящими» параметрами

Солнце

погрешность смещения

1,10

периодическая погрешность

0,27

0,01

Звезды

1,21

0,51

Луна

0,58

0,56

Меркурий

2,99

1,70

Венера

1,01

0,14

Марс

0,44

0,36

Юпитер

0,17

0,09

Сатурн

0,38

0,10

Птолемей пользуется неверной продолжительностью года, поэтому в его солнечных таблицах имеется смещение, постоянно возрастающее со временем. В таблице XIII.3 это смещение я взял равным 1,10°; примерно такое значение соответствует середине деятельности Птолемея. Погрешность смещения могла бы быть сведена на нет, если бы Птолемей использовал достаточное число наблюдений, проведенных с доступной для его времени точностью. Поэтому я взял значение 0 для погрешности смещения в столбце с «наиболее подходящими» параметрами.

Кроме того, в птолемеевой теории Солнца имеется периодическая погрешность (период равен одному году). Эта погрешность в основном обусловлена погрешностью в эксцентриситете орбиты Солнца и при определении положения его апогея, а проявляется она как погрешность в уравнении центра для Солнца. В теории Птолемея максимальное значение уравнения Центра равно 2,39°, а правильное значение равно 2,01°. Максимальная погрешность равна 0,38°, среднее квадратичное отклонение равно 0,27°. Но модель эксцентра не может точно представлять долготу Солнца, поэтому даже при «наилучшем» выборе параметров останется небольшая погрешность, около 0,01°.

Для звезд мы должны рассмотреть три типа погрешностей. Есть погрешность смещения во всех долготах, обусловленная неверным значением продолжительности года. При составлении таблицы XIII.3 я считал ее равной 1,10°. Кроме того, как видно из таблицы IX.1, есть случайные ошибки в долготах звезд (со средним квадратичным отклонением, равным 22,3') и в широтах звезд (со средним квадратичным отклонением, равным 20,8'). С учетом всех трех типов погрешностей среднее квадратичное отклонение положений звезд в звездном каталоге равно 1,21°. Если устранить погрешность смещения, соотнеся координаты правильному положению равноденствия, то останется среднее квадратичное отклонение, являющееся результатом только случайных погрешностей по широте и долготе; это среднее квадратичное отклонение равно 0,51°.

Во всех остальных случаях точность в таблице XIII.3 относится только к долготам. Погрешности в широтах Луны и планет ощутимые, но обычно они меньше погрешностей в долготах. Все погрешности обсуждались в соответствующих разделах. Для того чтобы найти эти погрешности, я составил программы для вычисления долгот по теории Птолемея и использовал эти программы для определения среднего квадратичного отклонения значений долгот, полученных по теории Птолемея, от значений долгот, полученных по современной теории. Затем я менял все параметры в моделях до тех пор, пока не получал наименьшее среднее квадратичное отклонение.

Как мы видели, Птолемей очень близко подошел к реализации возможностей, заложенных в его моделях для Луны и Марса. В других случаях погрешности его моделей намного больше, чем при «наиболее подходящем» выборе параметров. Такое расхождение заметнее всего для внутренних планет, Меркурия и Венеры.

Погрешности в моделях Птолемея для внешних планет сравнимы с погрешностями наблюдений, но для всех остальных небесных тел в таблице XIII.3 значения погрешностей намного больше допустимых погрешностей наблюдений. Так что нет никакого основания для утверждения Дрейера, процитированного в разделе VII.6, что теории Птолемея представляют положения небесных тел настолько хорошо, насколько их можно определить из наблюдения. Если в таблице XIII.3 двигаться от Марса к Сатурну, то отношение погрешностей, получившихся у Птолемея, к погрешностям моделей с «наиболее подходящими» параметрами постоянно возрастает. Возможно, это является следствием того соотношения эксцентриситетов, которое использовал Птолемей. Два эксцентриситета для Марса должны быть почти равными, но разница между ними при переходе к Юпитеру, а затем к Сатурну должна постоянно увеличиваться (см. таблицу XI.8). Теоретическое обоснование такого увеличения разницы дано в разделе XI.7. Птолемей, вместо того чтобы независимо друг от друга определить значения этих эксцентриситетов, для каждой планеты берет их равными. Мы видели, что для Венеры он якобы определяет эксцентриситеты отдельно, но так подделывает данные, что эти эксцентриситеты оказываются равными. На этом основании он затем берет их равными и для внешних планет.