Глава XIII.5

5. Компетентность Птолемея как астронома

Во всей соответствующей литературе, какую я видел, Птолемея считают астрономом первой величины и главный вопрос такой: кого, Гиппарха или Птолемея, считать величайшим астрономом древности? Теперь, когда мы выяснили, что работа Птолемея - обман, такие вопросы становятся бессмысленными. Теперь мы должны спросить: являлся ли Птолемей компетентным астрономом?

Обманщики в науке, к счастью, относительно редки, и я не видел никаких статистических исследований о таких «преступниках». Возможно, их было так мало, что статистические методы к ним и неприменимы. Но обнаружение обмана служит оправданием такому предварительному суждению. Компетентный ученый может получить ценные результаты честными методами. Поэтому, уличив какого-нибудь псевдоученого во лжи, мы можем поставить под сомнение его компетентность. Иначе зачем ему прибегать ко лжи? [1])

В этом разделе я хочу выделить ряд мест, где понимание Птолемеем астрономической теории кажется несовершенным.

1. В главе I.10 «Синтаксиса» Птолемей объясняет, как он составил таблицу хорд для углов, кратных 1/2 градуса. Наиболее существенным моментом здесь является получение равенства

chord 1°=0; 1,2,50

(обозначения шестидесятеричные). Как мы видели в разделе II.3, это значение верное, если округлять до третьего шестидесятеричного разряда. Но мы также видели, что доказательство Птолемея неверно, хотя, возможно, здесь и не было теоретической ошибки с его стороны. Первоначально он мог решить задачу правильно, но пытаясь в книге объяснить решение более сжатым образом, просто не заметил недочетов своего объяснения. Такие трудности бывали у многих ученых, и они, вообще говоря, не приводят к дискредитации самих ученых. У Птолемея при выводе этого равенства есть еще одна ошибка. Он говорит, что по известному значению хорды 1 1/2 градуса нельзя непосредственно найти хорду 1/2 градуса (или хорду Г). Но это не так. Хорду 1/2 градуса можно найти, для этого достаточно решить простое уравнение, приведенное в конце раздела II.3. Вывод такого уравнения, как мы знаем, был вполне доступен Птолемею, поскольку в основе вывода лежит метод, описанный самим Птолемеем.

2. Как мы видели в главе VI, свое изучение Луны Птолемей начинает с изучения долготы Луны в сизигиях [2]). В начале своего исследования, в главе IV.1 «Синтаксиса», Птолемей говорит, что использовать можно только наблюдения, проведенные во время лунных затмений, потому что все другие наблюдения оказываются неверными из-за лунного параллакса. По нескольким причинам это не так.

Во-первых, влияние параллакса можно вычислить и «исправить» измерения. Для этого надо знать расстояние до Луны, а его можно найти, не зная теории долготы Луны.

Во-вторых, даже если нельзя найти параллакс в общем случае, можно достаточно просто определить условия, при которых параллакс по долготе равен нулю. Для этого надо только знать взаимное расположение экватора и эклиптики, а это известно из солнечной теории. Теорию можно было бы прямо построить на измерениях долготы Луны в полнолуние или в те моменты, когда долготный параллакс равен нулю. С достаточной степенью точности такие условия повторяются почти каждый месяц, а вот лунное затмение в каждом отдельном месте наблюдения бывает примерно раз в 16 месяцев.

В-третьих, Птолемей не избегает поправок к наблюдениям при использовании лунных затмений. Причина в том, что он должен знать момент наибольшей фазы затмения, но точно измерить этот момент нельзя. Если моменты начала и конца затмения были определены точно, то за момент наибольшей фазы затмения можно взять среднее арифметическое значений моментов начала и конца. Однако для всех затмений, которыми пользуется, по его словам, Птолемей, измерен был либо только момент начала затмения, либо только момент конца, и время между серединой затмения и либо началом, либо концом, вычислялось по наибольшей фазе затмения. Среднее значение погрешности по времени у Птолемея равно 10 минутам, а Луна за 10 минут проходит примерно 5'. Напротив, среднее значение погрешности при вычислении параллакса должно быть практически нулевым.

В-четвертых, из-за рефракции край тени Земли размыт. Следовательно, момент, когда затмение начинается или заканчивается, определяется неточно. Я об этом говорил в разделе VI.5. Результаты получаются намного точнее, если наблюдать Луну с помощью астролябии, а еще лучше, если наблюдать начало или конец покрытия звезды Луной.

Птолемей для своих целей выбирает, вероятно, наихудший, а не наилучший тип наблюдения, хотя у него была вся основная информация для лучшего выбора.

3. Нужно обратить внимание на то, в каком порядке Птолемей получает координаты различных небесных тел. Сначала он определяет положения равноденствий и солнцестояний, затем находит среднюю долготу и уравнение центра для Солнца в любой момент времени. Дальше он строит теорию Луны. В своих основных наблюдениях во время затмений за точку отсчета долготы Луны он берет Солнце, а при использовании астролябии за начало отсчета он берет точку весеннего равноденствия [3]). При измерении долгот звезд за точку отсчета Птолемей -берет уже Луну, т. е. он измеряет удаление звезды от Луны и прибавляет измеренную величину к вычисленной долготе Луны. Наконец, долготы планет он измеряет, соотнося их со звездами.

Ясно, что надо придерживаться вовсе не этой последовательности. Конечно, необходимо использовать положение Солнца для определения положений точек равноденствий. В обратном порядке надо «использовать» Луну и звезды. Наилучшая процедура по существу та, какой Птолемей, по его утверждению, следовал при определении долготы звезды Регул (а Льва). В этом случае положение точки равноденствия он получает по наблюдениям положения Солнца. Это дает абсолютную долготу Солнца и ему не нужно определять долготу Солнца из таблиц. Затем непосредственно перед заходом Солнца он определяет положение Луны, а с помощью наблюдения сразу после захода Солнца он соотносит положение звезды с Луной. Таким образом, он соотносит звезду с точкой равноденствия и нам не надо больше ничего вычислять, за исключением той небольшой величины, на которую Луна сдвинулась за время между наблюдениями. При проведении такого измерения положение точки равноденствия определяется из наблюдения, сделанного для объектов около горизонта, поэтому из-за рефракции можно получить значительную погрешность. Есть способы избежать подобных погрешностей, но я не стану занимать здесь место их описанием. Итак, звезды можно соотносить непосредственно с точкой равноденствия без систематических погрешностей.

Найденные положения, звезд могут служить точками отсчета при определении положений Луны и планет. При этом предпочтительнее наблюдения покрытий или соединений.

Мы знаем, что Птолемей не получал координат звезд из тех наблюдений, какие он описывает, не получал он их и ни из каких других наблюдений. Вместо этого он берет старый звездный каталог и прибавляет к долготам фиксированную величину. Исходные координаты звезд из старого каталога были определены с лучшей точностью, чем имела теория Луны (см. раздел IX.2). Это значит, что при нахождении координат положения звезд не сравнивались с положением Луны. Координаты должны были быть измерены или относительно Солнца, или прямо относительно точки равноденствия, но метод, каким это было сделано, до нас не дошел. Птолемей, очевидно, не понимает, как надо определять координаты звезд, поскольку тот метод, каким, по его словам, он пользуется, самый плохой.

4. Птолемей утверждает, что он несколько раз измерял наименьшее зенитное расстояние Луны и всегда получал 21/8 градуса. Кажется, он не понимал, что минимум повторяется с интервалом в 19 лет. В разделе VIII.4 мы не смогли найти такого множества дат для наблюдений, чтобы подходящие измерения можно было провести Достаточно часто и оправдать слово «всегда».

5. Как мы видели в разделе VII. 4, Птолемей допускает серьезную теоретическую ошибку в анализе наблюдения 5 августа-127 г. Луна, по его словам, находилась в таком положении, что не было параллакса по долготе. На самом деле параллакс был равен 9'. И если в анализ наблюдения ввести этот параллакс, то согласование с теорией, которое он якобы установил этим наблюдением, нарушится. Точно такую же ошибку он делает для мнимого наблюдения 9 февраля 139 г. Правильное значение параллакса снова равно 9', но в этом случае параллакс имеет знак, противоположный знаку того параллакса, который был 5 августа -127 г. Если бы Птолемей ввел в анализ обоих наблюдений правильные значения параллаксов, то наблюдения не подтверждали бы друг друга. Получилась бы разница, равная 18', что следует считать довольно большим расхождением.

Дальше Птолемей делает еще одну серьезную теоретическую ошибку при анализе мнимого наблюдения 9 февраля 139 г. Он получает аномалию Луны равной 87;19 градуса и говорит, что именно такому значению аномалии соответствует максимальное значение уравнения центра. На самом же деле максимум уравнения центра соответствует аномалии 97;40 градуса. В итоге ошибка в долготе равна 7'.

6. Для нахождения параллакса Солнца (а это эквивалентно определению расстояния до него) Птолемей использует уравнение VIII.2 из раздела VIII.2. Уравнение такое:

Б + Б_U=П + П₍

Видимо, этим уравнением астрономы пользовалась и до Птолемея [4]). Так же, как и другие астрономы, Птолемей находит из различных наблюдений Б и Б_U, т. е. он знает сумму солнечного и лунного параллаксов.

Дальнейшее использование Птолемеем этого уравнения показывает его некомпетентность. Поскольку сумма параллаксов известна, то чтобы найти оба параллакса, нам нужно знать еще одно соотношение между ними. Птолемей дает дополнительное соотношение из мнимого измерения параллакса Луны П₍ прямым наблюдением 1 октября 135г. Затем из суммы он вычитает П₍ и находит П. Несовершенство этого метода в том, что малую величину П мы находим путем вычитания из П+ П₍ почти равной ей величины П₍. Не надо обладать такой уж большой проницательностью, чтобы понять, что этот процесс увеличивает неизбежные погрешности измерения. Более того, метод Птолемея может привести и на самом деле приводит к отрицательному значению параллакса (см. раздел VIII.8). Отрицательное расстояние, конечно, бессмыслица, но Птолемей намеренно выбирает метод, приводящий к бессмысленному результату. А ведь он настаивает на том, что изучал достоинства различных имеющихся методов.

Метод Аристарха значительно лучше. Аристарх измерял отношение параллаксов. Если знать отношение параллаксов и их сумму, то отсюда можно найти оба параллакса. Значение для отношения параллаксов Аристарх определил неточно, но даже такое значение ведет к разумному заключению, что размеры Солнца намного больше размеров Земли и что Солнце намного дальше от Земли, чем Луна. К физической бессмыслице, в отличие от метода Птолемея, этот метод не приводит (см. раздел VIII.8).

7. Для определения видимых размеров Солнца и Луны Птолемей выбирает наихудший, а не наилучший способ (см. раздел VIII.6). Следуя лучшему способу, надо было бы построить визирный инструмент такого типа, чтобы можно было непосредственно сравнивать видимый диск Луны с кругом известного размера и находящимся на известном расстоянии. Гиппарх пользовался именно таким методом; так говорит Птолемей в главе V.14 «Синтаксиса». А дальше Птолемей утверждает, что на этот метод полагаться нельзя. Однако все, что он говорит по этому поводу, лишено смысла, по крайней мере с моей точки зрения.

Метод, рекомендованный Птолемеем, включает в себя измерение наибольшей фазы частных лунных затмений, происходящих при одном и том же значении аномалии [5]). Из наблюдений двух таких затмений можно получить и видимый радиус Луны Б₍, и радиус Б_U тени Земли для данного определенного значения аномалии. Этот метод не слишком хорош по двум причинам. Одна состоит в том, что наибольшую фазу затмения точно определить довольно трудно, поскольку край у тени нечеткий. Другая причина в том, что радиус Б₍ должен находиться путем вычитания двух почти равных чисел, а такой процесс увеличивает погрешность наблюдения.

Но допустить такую ошибку Птолемей мог вовсе и не по неведению. Он мог не рекомендовать точный метод для измерения радиуса Б₍, поскольку точный метод сразу бы выявил фатальную ошибку его теории Луны. Он должен был дать метод, не опровергавший его теории, но тогда это должен быть метод, который можно применять только в сизигиях.

8. Для нахождения радиуса Б_U Птолемей также выбирает плохой способ. Радиус Б_U необходимо находить из наблюдений лунных затмений, но только не методом Птолемея. Причины объяснены в разделе VIII.9. Чтобы получить одну оценку для радиуса Б_U, Птолемей использует два затмения. Лучше начать с измерения Б₍ без использования лунных затмений. Если значение Б₍ известно, то из каждого частного лунного затмения мы получаем независимую оценку для Б_U и результаты существенно улучшают точность. Но, так же как и в предыдущем случае, Птолемей мог и здесь быть не совсем свободен в выборе.

9. В нескольких местах в «Синтаксисе» Птолемей говорит, что он неоднократно измерял одну и ту же величину. Но несмотря на это, он, кажется, не понимает роли погрешности измерения. Это видно из того, что все птолемеевы повторяющиеся «измерения» всегда совпадают с почти недостижимой точностью. Если он хорошо разбирался в ситуации, то он должен был знать, что его «подтверждения» теорию не подтверждают, они противоречат возможностям измерения.

Понимание значения погрешности измерения было в пределах возможностей науки того времени. Такой вывод можно сделать на основании обсуждения Птолемеем некоторых результатов Гиппарха (см. разделы VI.6 и VI.7). По двум различным наборам данных Гиппарх находит два значения эксцентриситета Луны и разница между значениями согласуется с погрешностью измерения. Птолемей этого не понимает. Он утверждает, что расхождение является результатом ошибок в вычислениях Гиппарха. Птолемей фабрикует пересмотр данных и получает по ним идентичные значения эксцентриситета.

10. В главе IV.2 «Синтаксиса» Птолемей приводит значение Иў, найденное, по его словам, Гиппархом; Иў обозначает среднее значение изменения аргумента широты Луны за сутки. В главе IV. 9 «Синтаксиса» Птолемей определяет аргумент широты для моментов середин затмений 25 апреля -490 г. и 5 апреля 125 г. Разница значений на 9' больше чем там, какую мы получаем по гиппархову значению Иў, и Птолемей соответствующим образом меняет значение Иў. Он не осознает того факта, что его поправка иллюзорна, поскольку погрешность при определении этой поправки около 20' (раздел VI.9).

Кроме того, хотя в поправке, которую нужно прибавить к аргументу широты (9'), только одна значащая цифра, к значению Иў Птолемей прибавляет число с пятью значащими цифрами. Возможно, было бы полезно сохранить несколько цифр, чтобы не потерять точности, полученной в наблюдении, но сохранение четырех добавочных цифр выглядит неоправданным. Прежде чем сделать вывод по данному вопросу, нам хотелось бы узнать, являются ли действия Птолемея в чем-то необычными для его времени, или же он следует обычаю.

Аналогичную вещь Птолемей делает в главе IV.7 «Синтаксиса» со скоростью изменения аномалии. И полученное изменение гиппархова значения полностью иллюзорно, поскольку Птолемей сфабриковал все использовавшиеся для этой поправки данные.

11. В главе V.2 «Синтаксиса» Птолемей обсуждает тот факт, что максимум уравнения центра для Луны в квадратурах больше, чем в сизигиях. Вспомним, что sin E=r/R, где r - радиус эпицикла, а R - радиус деферента. Как явно указывает Птолемей в конце главы V.2, это означает, что отношение r/R в квадратурах должно быть больше, чем в сизигиях. Он пробует модель, в которой R в квадратурах меньше, поэтому отношение там будет больше, и вскоре получает, что его модель «не работает».

На этом этапе работы квалифицированный астроном, мне кажется, попытался бы менять r. И если бы Птолемей так поступил, он увидел бы, что получающаяся в этом случае модель лучше. Но Птолемей, как мы знаем, такую модель не рассматривает. Вместо этого он подделывает данные в попытке придать правильный вид своей несовершенной теории.

12. В главе VII.3 «Синтаксиса» Птолемей приводит семь покрытий или соединений звезд с Луной. Я рассмотрел их в разделе IX.5. Все эти наблюдения Птолемей приписывает другим астрономам. Я уже отмечал, что основной чертой птолемеева изучения этих наблюдений является беспечность или даже небрежность. И краткое изложение ситуации заняло бы здесь много места, поэтому я приведу лишь один пример.

В определенный час 11 января 98 г. звезда а Девы была покрыта Луной. Неопределенность в положении звезды, очевидно, равнялась видимому диаметру Луны. Немного спустя звезда снова стала видима, и наблюдатель оценил расстояние от звезды до центра Луны. Второе наблюдение, очевидно, точнее первого, и именно его надо использовать. Птолемей же его игнорирует и использует только неточное первое наблюдение. Хотя мы уже знаем, что наблюдение сфабриковано, но все равно такие действия лишены смысла. Чтобы придать видимость правдоподобия своей подделке, Птолемей должен был позаботиться о том, чтобы она соответствовала наблюдательной процедуре.

13. Птолемей подробно описывает некоторые свои приборы и наблюдательные процедуры, но многие важные детали он опускает. Например, в главе 1.12 «Синтаксиса» он приводит описание двух приборов, которые использует для определения полуденной высоты Солнца. По той информации, какую он дает, мы можем нарисовать изображения этих приборов, но ни размеров приборов, ни цены деления на градуированных кругах Птолемей не дает. А он должен был понимать, что это основная информация, позволяющая нам судить о точности наблюдений.

14. Только параметры орбит Марса и Луны, найденные Птолемеем, имеют точность, близкую к той, которая заложена в его моделях. Для меня это непонятно. Как мы знаем, Птолемей увеличивает точность своих моделей путем использования поддельных данных. Но все же можно было ожидать, что в рамках своих моделей он попытался бы подобрать параметры настолько точно, насколько это возможно на основании имевшихся в его распоряжении подлинных данных. Ничего такого Птолемей не делает.

15. Птолемей не смог понять почти ни одного аспекта теории Меркурия. Даже идеи симметрии, и те он не использует правильно. Здесь я не стану и пытаться обсуждать эту ситуацию, а могу только отослать читателя к главе X.

16. В моделях Птолемея для Луны и для каждой планеты имеется по меньшей мере два маленьких расстояния. Он так подделывает данные, чтобы в каждой модели они оказывались равными. Как мы видели из соответствующих таблиц (таблицы VII.2, Х.2, XI.2, XI.4, XI.5 и XI.6), для Марса эти расстояния почти равны, а для других тел они заметно различаются и сильно различаются для Меркурия. В некотором смысле эта ошибка есть частный случай пункта 14. Она иллюстрирует еще одну склонность Птолемея. Он, независимо от данных, приписывает параметрам простые значения. Например, он так подделывает данные, чтобы прецессия равноденствий оказалась равной 1° в столетие, хотя его же собственные подлинные данные приводят к другому результату и хотя это вовсе не является найденным Гиппархом значением скорости прецессии. Гиппарх лишь считает его нижним пределом, возможно потому, что у него были сомнения в точности наблюдений, из которых он получил данные. И поскольку у него были данные, соответствующие короткому промежутку времени, то Гиппарх был прав, рассмотрев такое маленькое значение. Тремя веками позже данные уже не оставляли никакого сомнения в том, что значение должно быть намного больше. Но Птолемей, по-видимому, не понимает ограничений, вызванных погрешностью наблюдения, и берет нижний предел у Гиппарха за действительное значение, возможно, именно из-за того, что это очень простое число. При этом он игнорирует подлинные данные и подтверждение своей ложной гипотезы основывает на подделке.

17. Как мы показали в пунктах 9 и 10, Птолемей, видимо, не понимал значения погрешности наблюдения. Во многих местах он, кажется, демонстрирует непонимание значения округления, аппроксимации и других видов арифметической погрешности. Наиболее сильно на это указывает, вероятно, его трактовка модели, с помощью которой он получает радиус Вселенной. Описание этой модели имеется в разделе IV.8. Как мы видели в этом разделе, а также в разделе VIII.7, найденные Птолемеем в «Синтаксисе» параметры для орбит Луны, Солнца и планет хорошо согласуются с его моделью Вселенной, и отсюда можно сделать вывод, что какие-то данные были сфабрикованы именно для того, чтобы получить такое согласование. Но при переходе к детальному описанию модели Вселенной Птолемей вводит аппроксимацию и другие арифметические погрешности, и согласование нарушается. И тут создается впечатление, что он не понимает причин расхождения. Видимо, он не понимает, что расхождение является результатом его арифметики, он не понимает того, что если принимать его модель, то всю арифметику надо проделывать очень тщательно. Вместо этого Птолемей считал, по-видимому, что для согласования требуется принципиально новый анализ параллакса Луны.

Каждый ученый, даже гений, имеет право на ошибки, но ошибки Птолемея кажутся мне чрезмерными. У нас нет принятой шкалы для определения компетентности и поэтому я колеблюсь заявить, что он был некомпетентен. Однако совершенно спокойно, как мне кажется, можно сказать, что астрономом первой величины Птолемей не был. Мне кажется, самое большее, что о нем можно сказать, так это то, что он был заурядностью. Думаю, у многих читателей после приведенного выше обзора появятся серьезные сомнения в возможностях Птолемея как астронома.

Некоторые читатели, возможно, приведут возражения такому заключению. И, как я подозреваю, наиболее частые возражения будут такими. В «Синтаксисе» Птолемей показывает, что он умеет решать довольно сложные теоретические задачи. Показал он и то, что понимает, какие наблюдения требуются для нахождения теоретических параметров с наименьшими затратами. Все это показывает, что он первоклассный астроном, а перечисленные мною ошибки не превышают ошибок, допустимых для труда такого масштаба, как «Синтаксис».

Наиболее сложная задача, поставленная в «Синтаксисе», и с точки зрения выбора наблюдений, и с точки зрения используемой математики связана, по-видимому, с теорией Солнца. Описание данной задачи дано в разделе V.1. В этом случае Птолемей одновременно по трем наблюдениям находит положение апогея, эксцентриситет и аномалию в некоторую эпоху. Такая же задача встает для каждой из внешних планет (см. раздел XI.6). Кроме того, эта же задача стоит и для Луны (раздел VI.5), только здесь она выражена не в рамках модели эксцентра, а в рамках эпициклической модели. Но поскольку эксцентр и эпицикл дают идентичные результаты, то задача для Луны по существу такая же, как и остальные.

Многие из нас знают людей, способных на бумаге решать определенный тип задач без понимания истинного смысла используемых при этом процедур. И пока они имеют дело с задачами, которые можно решить выученными способами, их деятельность выглядит вполне успешной. Вся их ограниченность становится ясной только тогда, когда они сталкиваются с задачей, которую не решишь выученным методом, или когда они сталкиваются с такими аспектами ситуации, которые не рассматривались в учебной программе.

Нет очевидных причин для сомнения, что в случае Птолемея дело обстоит именно так. Только что рассмотренная задача была решена Гиппархом, а возможно, она была решена кем-то еще до Гиппарха. Так что новой она не была, и Птолемею не нужно было ни изобретать новые методы ее решения, ни выбирать необходимые для этого наблюдения.

[1] Я хочу подчеркнуть, что рассуждения в этом абзаце имеют лишь эвристическое значение. Если оставить Птолемея пока в стороне, то я не знаю, есть ли такие ученые, которых поймали па обмане и которые были людьми выдающихся способностей.

[2] Я уже отмечал в главе VI, что в этой части своей работы Птолемей изучает Луну только в полнолуние и без всякого доказательства (по крайней мере я такого доказательства у него не видел) переносит результаты на новолуние

[3] Во многих работах по данному вопросу можно встретить утверждение, что при использовании астролябии Птолемей измеряет элонгацию Луны от Солнца. Однако, как мы видели в разделе VII.1, сначала Птолемей использует астролябию для определения положения точки равноденствия по склонению Солнца, затем независимо измеряет долготы Солнца и Луны. Нужно отметить, что так описывает свои действия сам Птолемей; на самом же деле он подделывал наблюдения.

[4] Более точно, Птолемей и другие астрономы решали не само уравнение, а приводящие к нему геометрические соотношения. См. раздел VIII.7 и Приложение Б.

[5] Более точно, либо для одного и того же значения, либо для симметричных значений, соответствующих одному и тому же расстоянию до Луны.