ПРЕСТУПЛЕНИЕ КЛАВДИЯ ПТОЛЕМЕЯ
Глава I. Объяснение явлений в астрономии
Глава II. Греческая математика
Глава III. Земля
Глава IV. Строение мира
Глава V. Солнце и связанные с ним вопросы
Глава VI. Долгота полной Луны
1. Параллакс
5. Использование затмений Луны при изучении ее движения
6. Четыре сфабрикованные триады лунных затмений
8. Автор обмана
10. Итоги
Глава VII. Долгота Луны в любой фазе
Глава VIII. Размеры Солнца и Луны. Расстояния до них
Глава IX. Звезды
Глава X. Движение Меркурия
Глава XI. Венера и внешние планеты
Глава XII. Некоторые второстепенные вопросы
Глава XIII. Оценка деятельности Птолемея
Приложение А. Специальные термины и обозначения
Приложение Б. Метод Аристарха для нахождения размеров Солнца
Приложение В. Как Птолемей пользовался вавилонским календарем
Г л а в а VI
ДОЛГОТА ПОЛНОЙ ЛУНЫ
1. Параллакс
Параллакс - это угол между направлениями, по которым объект виден из двух разных точек. В астрономии почти всегда одна точка - центр Земли, а вторая - точка на поверхности Земли, в которой проводятся астрономические наблюдения [1]). Если расстояние до наблюдаемого объекта велико по сравнению с размерами Земли, то параллакс будет, очевидно, маленьким. Поэтому при наблюдениях невооруженным глазом параллаксами Солнца, планет и звезд можно пренебречь. Но Луна достаточно близка к Земле, и в теории Луны мы должны с самого начала учитывать ее параллакс [2]).
В общих чертах явление параллакса проиллюстрировано на рис. VI.1. Пусть задана система координат XYZ. Ось X - направление на весеннее равноденствие из центра Земли. Оси Y и Z определим позже. Точка Т - это положение наблюдателя на поверхности Земли. Расстояние СТ берем равным единице. Положение наблюдателя Т определяется с помощью двух угловых координат. Для нахождения этих координат проведем плоскость через точку Т (положение наблюдателя) и ось Z. Данная плоскость проходит через прямую ZC, точку Т и точку, обозначенную на рисунке как Т'. Одна координата - это угол ТСТ', другая -угол Т'СХ.
Для точки Р мы можем ввести углы, аналогичные углам ТСТ' и Т'СХ. На рис. VI.1 это были бы углы РСР' и Р'СХ. Если точка Z - Северный полюс, а плоскость XY- экваториальная плоскость, то угол РСР' называется склонением, угол Р'СХ - прямым восхождением. Склонение аналогично широте, а прямое восхождение-долготе. Если плоскость XY - плоскость эклиптики, то угол РСР' называется эклиптической широтой, а угол Р'СХ - эклиптической долготой [3]). Мы можем рассмотреть систему координат с осями, параллельными X, Y, Z, но с началом в точке Т. Координаты в такой системе называются топоцентрическими, а в системе координат с началом в точке С- геоцентрическими. При выводе или табулировании эфемерид небесного тела желательно, чтобы эфемериды не зависели от точки на поверхности Земли. Поэтому предпочтительнее давать эфемериды в геоцентрических, а не в топоцентрических координатах. Но из наблюдений мы получаем именно топоцентрические координаты, и мы должны уметь от этих координат переходить к геоцентрическим.
В большинстве случаев оба геоцентрических угла отличаются от соответствующих топоцентрических углов. Поэтому у нас может быть параллакс по склонению, прямому восхождению, эклиптической широте и эклиптической долготе. Другими словами, говоря о параллаксе, необходимо точно определять, к какой координате он относится.
Рис VI.1. Астрономический параллакс Точка С - центр Земли, точка Т - положение наблюдателя на поверхности Земли Плоскость, проходящая через точку Т и ось CZ, пересекает плоскость XY по прямой СТ'. Угловое положение точки Т определяется координатными углами ХСТ' и ТСТ Угловое положение внешней точки Р определяется нахождением точки Р' и заданием координатных углов ХСР' и РСР' (точки Р' на рисунке нет). Предположим, мы ввели другую систему координат с началом в точке Т и определили положение точки Р в новой системе координат аналогичными построениями Если только Т не находится на прямой СР, то координатные углы с вершиной в точке Т отличаются от углов с вершиной в точке С. Это и есть явление параллакса.
Через точки С, Т и Р всегда можно провести плоскость, и в некоторых случаях нас интересует параллакс только в этой плоскости. Ясно, что по перпендикулярному к этой плоскости направлению параллакса нет. Такая ситуация показана на рис. VI.2. На этом рисунке плоскость X'Y' - это плоскость, проходящая через точки С, Т и Р. В этой плоскости у нас только одна угловая координата. Угол PCX' - геоцентрический координатный угол » точки Р. Угол »Т- соответствующий топоцентрический координатный угол точки Р. И наконец, координатный угол »0(угол ТСХ') определяет положение точки Т относительно точки С. Расстояние СР обозначаем R, радиус СТ равен 1.
На плоскости параллакс можно описать достаточно простыми соотношениями. У точек Т и Р прямоугольные геоцентрические координаты (Х'Т, Y'T) и (X'Р, Y'Р) такие:
Х'Т =cos»0, Y'T = sin»0; X'P = R cos », Y'P = R sin ».
Следовательно, если смотреть из точки Т, то одна координата точки Р равна R cos »-cos »0, вторая равна R sin »-sin »0. Угол »Т можно найти из уравнения
tg »Т =(R sin »Т-sin »0)/(R cos » - cos »0).
Мы должны найти разность между углами »Т и ». Используя тригонометрическое выражение tg(A-B) через tg А и tg В, легко получаем
tg(»Т - ») = sin(»Т- »0)/[R-cos(»Т- »0)]. (VI.1)
Уравнение (VI.1) я написал, чтобы явно указать зависимость параллакса »Т - »Т от R и от разности направлений »- »0 (разность геоцентрических направлений наблюдаемой точки Р и положения наблюдателя Т). Аналогичное уравнение мы можем получить и в общем случае (рис. VI. 1). Правда, здесь вывод значительно более трудоемкий. Общий случай мы не используем, и результаты я не привожу [4]).
Хотелось бы знать, какое максимальное значение может принимать параллакс. Максимум будет в том случае, если прямые СТ и ТР (рис. VI.2) перпендикулярны, т. е. если прямая от объекта до Земли является касательной к Земле. А значит, в случае максимального параллакса прямая ТР - горизонтальная линия. Поэтому и максимальное значение часто называется горизонтальным параллаксом. Максимальное значение параллакса будем обозначать символом П. Нетрудно получить соотношение
sin П=l/R. (VI.2)
Если расстояние Rбольшое, то синус и сам угол (измеренный в радианах) равны, т. е. для больших R
П=1/R. (VI.3)
Рис. VI.2. Частный случай параллакса (на плоскости) Рисунок лежит в плоскости, проходящей через точки С, Р и Т рисунка VI.1, X' и Y' - координатные оси на этой плоскости. Угол »- это координатный угол точки Р относительно точки С, а угол »Т - относительно точки Т. Угол »0 - координатный угол наблюдателя Т относительно точки С В данном частном случае параллакс равен разности »Т - ». Эта разность равна углу СРТ, т. е. параллакс точки Р равен угловому расстоянию между точками С и Т, если смотреть из внешней точки Р.
Итак, нахождение горизонтального параллакса П эквивалентно нахождению расстояния R.
Если R около 60 (как, например, для Луны), то уравнение (VI.3) не достаточно точно, и мы должны использовать уравнение (VI.2). Для очень точных телескопических наблюдений уравнение (VI.3) не подходит, в остальных же случаях (для Солнца и планет) мы можем им пользоваться.
В разделе IV.7 я мельком уже упоминал о параллаксе звезд. Количественные выражения параллаксов звезд нам не потребуются, однако желательно сказать еще несколько слов, чтобы исключить неверное понимание. В уравнении (VI.3) единица в числителе - это радиус Земли, т. е. расстояние от наблюдателя до центра Земли. Если рассматривать звезды, то это расстояние ничтожно мало по сравнению с расстоянием до звезды. Пусть на рис. VI.2 точка С - это Солнце, Т - Земля, а круг с центром в точке С - орбита Земли. По мере движения Т по своей орбите в течении года можно наблюдать параллакс звезд) [5]). Максимальный параллакс данной звезды задается уравнением (VI.3), но здесь единица в числителе - это средний радиус орбиты Земли, а эта величина примерно в 23 000 раз больше радиуса земного шара. Но даже в этом случае наибольший известный нам параллакс звезды меньше 1". Значит, расстояние до ближайшей звезды более чем в 200 000 раз превосходит радиус орбиты Земли.
[1] Автор дает определение суточного параллакса; для звезд в астрономии используется годичный параллакс, т. е. угол, под которым виден со звезды радиус орбиты Земли. (Примеч. ред.)
[2] На принципе параллакса основано действие дальномера. По существу, дальномер измеряет величину параллакса для двух точек, взаимное расположение которых известно, и определяет расстояние по полученному значению параллакса. Аналогичным образом используют параллакс для нахождения расстояний и астрономы.
[3] В случаях, когда нет опасения спутать эклиптические широту и долготу с широтой и долготой точки на поверхности Земли, прилагательное «эклиптическая» я буду опускать.
[4] Эти результаты можно найти в разделе 2F Вспомогательного приложения [1961] (См. также «Справочное руководство по небесной механике и астродинамике».- М.: Наука, 1976, ч. I, глава 2.- Примеч. ред.)
[5] См примечание редактора к с. 111.