Глава VI.5

5. Использование затмений Луны при изучении ее движения

Определив средние движения, о которых шла речь в предыдущем разделе, Птолемей строит модель, объясняющую положение Луны в сизигиях. Для остальных фаз он находит поправки, обусловленные эвекцией и другими отклонениями от простой модели. Описание положения Луны в сизигиях Птолемей дает с помощью простой эпициклической модели (рис. IV.1).

Отметим одно следствие из полученных в предыдущем разделе средних движений. Значение і2( немного меньше значения n(, поэтому радиус эпицикла r медленно поворачивается относительно равноденствия. Разница между n( и і2( (см. равенства (VI.8) и (VI.9)) составляет 0,111 399 355 2 градуса в сутки. Полный оборот радиус эпицикла совершает за 3 232 суток, или 8,85 года [1]). Он поворачивается в направлении против часовой стрелки. В том же направлении движется и сама Луна.

В главе IV.1 «Синтаксиса» Птолемей обсуждает, какие наблюдения нужно использовать при построении теории Луны, Как он говорит, нельзя, положившись на случай, брать все наблюдения подряд. И что важно, мы не можем ограничиться просто самыми древними наблюдениями, а должны выбрать из них наблюдения, проведенные во время лунных затмений. Только по наблюдениям во время лунных затмений мы можем определить действительное положение Луны. Все другие наблюдения, основаны ли они на определениях положения Луны среди звезд, или наблюдения, проводимые с помощью каких-то приборов, а также наблюдения, проведенные во время затмений Солнца, могут из-за параллакса дать ошибку. Итак, развивая теорию, описывающую положение Луны в сизигиях, мы будем использовать только те измерения, которые сделаны во время лунных затмений, так как в этом случае параллакс на результаты не влияет.

Можно сказать, что на определение моментов начала и конца лунного затмения сильного влияния параллакс не оказывает. Каждый, кто может видеть Луну над горизонтом, увидит и ту точку Луны, которая первой коснется тени Земли. Параллакс на это никак не повлияет. Но мы не увидим начала затмения, особенно при наблюдениях невооруженным глазом, до тех пор, пока тень Земли не закроет заметную часть Луны, а в этом случае параллакс уже может слегка повлиять на определение времени. Но подобное влияние, хотя оно и присутствует, намного меньше влияния параллакса на другие типы измерений.

Что же касается наибольшей фазы затмения, то этот аспект, если мое прочтение верно, не играет такой уж большой роли и не заслуживает того внимания, которое уделяет этому вопросу Птолемей. Влияние параллакса на измерения может быть довольно точно вычислено, и, следовательно, можно сделать соответствующую поправку за параллакс. По существу же вопрос в том, какой тип измерений в наблюдениях Луны может быть проделан с наибольшей точностью. Возможно, это момент начала покрытия звезды Луной. А может быть, начало или конец лунного затмения. В ответе я не уверен, но подозреваю, что момент начала покрытия определяется значительно точнее, чем время начала или конца лунного затмения. Из-за рефракции в атмосфере край тени Земли довольно расплывчатый, поэтому нельзя точно определить, какой момент считать началом или концом затмения. С другой стороны, у Луны контур очень четкий и начало или конец покрытия определяется достаточно точно.

Из наблюдения лунного затмения надо получить момент середины затмения, т. е. момент, когда долготы Солнца и Луны отличаются на 180° [2]). На глаз определить моменты середины затмения вообще невозможно. В идеале надо действовать так: измерить моменты начала и конца затмения и за середину взять среднее арифметическое этих двух моментов. Иногда, особенно в самых древних наблюдениях, измерено только начало затмения. Но эту трудность можно обойти, поскольку можно вычислить продолжительность затмения. Так что середина затмения определяется только по времени его начала или конца [3]). По времени середины затмения мы определяем долготу Солнца, а затем и долготу Луны.

Итак, каждое затмение дает долготу Луны в определенный момент времени. Вспомним теперь, что эпициклическая модель (рис. IV.1) имеет пять параметров, которые надо найти из наблюдений. Два, n₍ и і2₍ , мы уже нашли. Осталось еще три параметра. Это средняя долгота L₍₀ в некоторую эпоху, аномалия і₍₀ в ту же эпоху и радиус эпицикла r₍ .

Для нахождения долготы Луны определяющую роль играет отношение радиуса r к радиусу соответствующего деферента. В выборе радиуса деферента мы свободны. При обсуждении результатов Птолемея я буду следовать его выбору и брать радиус деферента равным 60.

Три только что перечисленных параметра Птолемей находит с помощью метода, которым, как он говорит, пользовался Гиппарх [глава IV.5 «Синтаксиса»]. Этот'метод основан на использовании моментов середин трех затмений. На самом деле это означает, что он будет использовать положение Луны в три определенные момента времени поскольку, как мы видели, эту информацию можно получить из наблюдений затмений. Каждое такое положение Луны дает нам одно уравнение, связывающее три неизвестных параметра, и для нахождения этих неизвестных требуется три уравнения.

В главе IV.6 «Синтаксиса» Птолемей находит эти параметры с помощью геометрических методов. Описание соответствующих методов есть у Нейгебауера [1968, приложение I]. Решение Птолемея я проверял другим методом. Мой метод лишь в незначительной степени опирается на геометрию. Здесь индекс ₍ опущен, а числовые индексы указывают на то, к какому затмению относится соответствующая величина. Так »₁, L₁ и і₁ - это истинная долгота, средняя долгота и аномалия в момент середины первого затмения. С помощью рис. IV.1 находим соотношение

tg»₁=sin L₁+rsin(L₁-і₁) / cos L₁+гсоs(L₁-і₁) (VI.10)

где r - радиус эпицикла. Аналогичные соотношения между »₂, L₂, і₂, »₃, L₃ и і₃ выполнены для второго и третьего затмений. Все » известны из наблюдений. Пусть t₁, t₂ и t₃ - это моменты трех затмений. Тогда L₂=L₁+n₍(t₂-t₁) и аналогичное соотношение выполнено для і₂, L₃ и і₃. Таким образом, величины L₂, L₃, і₂ и і₃ выражены через L₁ и і₁ а для трех неизвестных L₁, і₁ и rу нас есть три уравнения [4]).

[1] В действительности это период одного оборота линии апсид лунной орбиты (ее большой оси), которая поворачивается в том же направлении, что и Луна. (Примеч. ред.)

[2] Для каждого отдельного затмения это не совсем так, но в каждом отдельном случае погрешность мала, особенно если иметь дело с точностью наблюдений невооруженным глазом. Кроме того, утверждение верно, если взять усреднение по всем затмениям.

[3] Заметим, что Птолемей готов поставить свои результаты в зависимость от вычисления продолжительности затмения, но не в зависимость от вычисления параллакса.

[4] Величина r входит в уравнения линейным образом Следовательно, r сразу можно исключить и у нас останется два уравнения с двумя неизвестными. Эти уравнения решаются методом быстро сходящихся итераций.