Глава VI.7

7. Доказательство подделки

Каждая из первых двух триад дает Птолемею значения трех параметров. Первый параметр - это L₂, средняя долгота Луны во время среднего затмения каждой триады; второй параметр - і₂. аномалия в то же самое время. И третий параметр - это r, радиус эпицикла Луны. Для облегчения сравнения с современными результатами я заменил r на Е, максимальное значение уравнения центра. Величину Е мы получаем по значению г из уравнения (VI.11).

Для двух последних триад Птолемей приводит среднюю долготу и аномалию для каждого затмения. Говорит он также, что r, «в соответствии с нашими расчетами», есть 5 1/4, если радиус деферента равен 60. Здесь неясно, получено ли значение r из анализа этих триад, или из каких-то других данных.

Таблица VI.3

Параметры, выведенные из четырех триад затмений, которые использует Птолемей

Годы

Решение, полученное нами

L₂ і₂ E

Решение Птолемея

L₂ і₂ E

-720/-719

-720/-719^а

133/136

-382/- 81

-200/-199

164;44 164;45 29;31 263;59 181;07

12;18 13;01 64;38 28;25 109,39

4;59

4;50 5;00 5;02 5;00

164;44

29;30 263;58 181;07

12;24

64;38 27;37

109;28

4;59

5;00 5,01 5;01

^a это решение соответствует изменению времени одного затмения на 0,01 суток (проверка влияния погрешности измерения).

Параметры, выведенные из четырех триад затмений, собраны в таблице VI.3. Для каждой триады я привожу те значения, которые независимо нашел сам, а также те значения, которые нашел Птолемей. Для первой триады приведены также значения параметров, полученные после изменения времени второго затмения. Смысл этих параметров станет ясен позднее.

В каждом случае мои значения параметров L₂ и Е настолько хорошо согласуются со значениями Птолемея, насколько только можно было ожидать. Для второй триады (с 133 по 136 год) значения і₂ совпадают точно, а в других случаях имеется расхождение от 6' до 48'. Но на долготу Луны значение і( почти не влияет, а величина і₂, наоборот, очень чувствительна к малейшим деталям процедуры вычисления. Поэтому разница в значениях і₂ для нас несущественна.

Довольно интересно, что в таблице VI.3 такое хорошее совпадение значений Е для каждой триады. Первое, что мы должны сделать для интерпретации полученного результата, - это изучить влияние погрешности при измерении времени. Для этого я меняю время второго затмения в первой триаде на 0,01 суток, или на 14,4 минуты. Остальные данные прежние. В результате Е изменилось на 9'. Значение і₂ изменилось на 43', что показывает крайнюю чувствительность этого параметра к подобным изменениям.

Даже если часы, использовавшиеся для определения времени, не давали никакой погрешности, время почти всегда приведено так, что остается неопределенность по крайней мере в 15 минут. Я считаю вполне разумными размерами среднего квадратического отклонения измерения времени 0,01 суток. Правильное значение, во всяком случае, по-видимому, не меньше. Кроме того, имеется значительная неопределенность при определении момента начала затмения. Однако это я вообще учитывать не буду. Итак, если мы изменим в данных какое-то время на одно среднее квадратичное отклонение, то Е изменится на 9'. Если изменение времени других затмений оказывает точно такое же воздействие на результаты, то среднее квадратичное отклонение погрешности при определении значения Е в 3 раз больше изменения значения Е, обусловленного погрешностью при определении времени какого-нибудь одного затмения. Значит, среднее квадратичное отклонение величины Е, полученной из триады затмений, должно быть 93. Для удобства считаем это отклонение равным 15'.

Все значения Е, найденные Птолемеем, отличаются от 5;00 не больше, чем на 1', а это 1/15 среднего квадратичного отклонения. Вероятность получить два настолько близких значения Е равна 40^-1, а вероятность получить настолько близкими четыре последовательных значения уже 40^-3, т. е. 1 шанс из 64 000. Вероятность настолько мала, что на практике ею можно пренебречь.

Приходим к выводу, что совпадение значений Е в таблице VI.3 не может явиться результатом случайных погрешностей измерения. Такое совпадение значений могло произойти только в том случае, если три триады не наблюдались, а были составлены так, чтобы они согласовались с оставшейся триадой. А может быть, все четыре триады затмений являются подделкой.

Кстати, мы должны обратить внимание на то, как Птолемей обращается с полученными результатами, которые он выражает, как правило, в единицах радиуса эпицикла r. Радиус деферента он берет равным 60. Из первой триады (с -720 по -719 гг.) он получает r=5;13. Из второй триады (с 133 по 136 гг.), которую по его утверждению наблюдал он сам, Птолемей получил 5;14. После этого везде в «Синтаксисе», включая и рассмотрение других триад, Птолемей округляет это значение до 5;15, что он обычно записывает как 5 1/4.

Незначительные различия значений Е, показанные в таблице VI.3, согласуются с гипотезой о подделке. Данные в подделке были получены с помощью птолемеевой теории Луны. В процессе вычисления таких данных обязательно встречались округленные числа. И в любом случае числа надо было округлять, чтобы их можно было выдать за результаты измерений [1]). Поэтому в значениях параметров, полученных из сфабрикованных данных, должно было получиться некоторое расхождение.

В Части III я привожу веские подтверждения поддельности второй триады. Доказательство основано на том факте, что средние скорости движения Солнца и Луны, использовавшиеся в таблицах Птолемея, имеют некоторую погрешность, и наблюдения затмений, действительно проведенные во время Птолемея, должны были выявить систематическое отклонение от солнечных и лунных таблиц. Если же мы будем вычислять затмения по птолемеевым теориям Солнца и Луны, то получим отличное согласование с этими таблицами в пределах расхождений, обусловленных самим процессом подделки.

Доказательство, основанное на рассмотрении значений Е, оставляет возможность того, что одна триада затмений подлинная. Из доказательств в Части III мы сразу можем сказать, что та триада, которую наблюдал сам Птолемей, не может быть подлинной. То же самое можно сказать о первой и о самой древней триадах. Почему? Давайте сначала ответим на такой вопрос: каково истинное значение E? Ответ дает уравнение (VI.6). Максимальное значение е_C( равно 5,04°, немного больше, чем 5;02 градуса. Это удивительно близко к значению Птолемея. Однако совпадение, по-видимому, случайное. Если бы все измерения для первой триады были проведены очень точно, то значение Е не должно было совпадать с правильным значением.

Это объясняется уравнением центра для Луны. В уравнении (VI.4) даны четыре старших члена уравнения центра. Самый старший из отброшенных в этом уравнении членов, назовем его ґе_C(, такой:

ґе_C(= - 0,1856° sin М. (VI.12)

Здесь М - средняя аномалия Солнца (в современном понимании этого термина). Для первых двух затмений триады - затмений 19 марта -720 г. и 8 марта -719 г.- М€ немного больше 90°, а для затмения 1 сентября -719 г. М немного больше 270°. Итак, для мартовских затмений ґе_C( близко к -0,18°, а для сентябрьского - к +0,18°. Анализируя эту триаду затмений, Птолемей не мог использовать верное значение »(, долготы Луны, и не мог знать об этом. Он должен был вместо »₍ использовать »(+ ґе_C (.

Я повторил анализ первой триады, сделав такую замену. Вот результаты:

L₂=164;42, і₂=9;57, E=4;59,

все в градусах. И точное значение Е триада могла дать только в случае каких-либо случайных погрешностей измерения, компенсирующих влияние ґе_C(. Полученное значение совпадает со значением 5;02 градуса с точностью до 3', или 0,2 среднего квадратичного отклонения. С вероятностью 11 против 1 это не могло произойти случайно. Вероятность хотя и большая, но не такая уж огромная.

Мы должны также спросить, является ли подлинной какая-нибудь из последних двух триад в таблице VI.3. При этом мы должны помнить, что больше одной триады подлинной быть не может. Из теории погрешностей мы получаем только то, что все предыдущие вычисления применимы в отдельности к каждой из двух последних триад. Но Птолемей рассматривает обе триады абсолютно одинаково. Так что, по-видимому, либо обе они подлинные, либо обе сфабрикованы. А так как по крайней мере одна триада поддельная, то, вероятно, сфабрикованы обе.

Предположим, что все четыре триады - подделка. Но тогда немедленно встает вопрос: откуда фальсификатор взял значение E? Ответ на этот вопрос простой. И как только мы его получим, все встанет на свои места.

Раньше [Часть III] я писал, что значение Е Птолемей взял у Гиппарха. То же самое сказано и в книге Дрейера [1905, с. 164]. Дрейер не приводит обоснования своему утверждению, я же основывался на первой части главы IV.5 «Синтаксиса». Там Птолемей говорит, что пользуется тем же методом, каким Гиппарх по трем затмениям находил наибольшее отклонение от среднего движения [2]). Поэтому я решил, что в описании затмений -720 и -719 годов Птолемей следует Гиппарху, который использовал эти затмения. Но потом я засомневался в такой интерпретации. До главы IV.6 Птолемей не говорит о затмениях -720 и -719 годов. А в главе IV.6 он не упоминает имени Гиппарха в связи с этими затмениями. Птолемей просто говорит, что выбирает три древних наблюдения затмений, проведенных, на его взгляд, достаточно хорошо. Снова Птолемей упоминает Гиппарха в главе IV.11. Здесь он подчеркивает разницу между своими результатами и результатами Гиппарха.

Рассмотрим то значение Е, которое может быть получено из затмений, использовавшихся Гиппархом [3]). Если мы берем значение Е, действительно соответствующее исходным данным, то в среднем оно равно 5;04,30 градуса. Если же мы возьмем те значения, которые Птолемей приписывает Гиппарху, то среднее равно 5; 11,30. Для любого из этих значений целое число градусов равно 5. В дальнейшем мы увидим, что фальсификатор имел склонность использовать целые числа. Поэтому на основании работ Гиппарха он вполне мог взять Е=5°, даже если это и не то значение, какое получил сам Гиппарх. Случайное стечение обстоятельств таково, что это округленное число довольно точное. Фальсификатор не всегда был так удачлив в выборе округленных чисел.

Можно предположить, что подделка была предпринята для получения значения E=5°. В самом начале подделки не было необходимости брать определенные значения L₍ и і₍ в некоторую заданную эпоху. Поэтому в первой используемой триаде два затмения могут быть подлинными и только одно обязательно сфабриковано. В самой старой триаде затмений (ее Птолемей рассматривает первой) он не дает, как мы помним, никаких подробностей нахождения времени середины второго затмения. Для остальных затмений триады он описывает это очень подробно. Кроме того, Птолемей приводит среднюю долготу и аномалию только для второго затмения. Поэтому можно предположить, что в этой триаде подделкой является только второе затмение. Возможно, Птолемей приводит для этого затмения среднюю долготу и аномалию, чтобы затем построить таблицы этих величин. А для других затмений эти величины привести нельзя, поскольку если эти затмения подлинные, то нельзя ожидать, чтобы для них средняя долгота и аномалия согласовывались со значениями средней долготы и аномалии для затмения-подделки, и нельзя ожидать, чтобы было согласование с таблицами Птолемея.

Таблица VI 4

Значения долготы для четырех триад затмений (приведенные Птолемеем и вычисленные)

Дата

Вычисленные значения »₍± 180є

о 2

Приведенные Птолемеем значения »

о 2

Вычисленные значения »

о 2

-720 март 19

-719 март 8

-719 сент. 1

133 май 6

134 окт. 20

136 март 6

-382 дек. 23

-381 июнь 18

-381 дек. 12

-200 сент. 22

-199 март 19

- 199 сент. 12

354 30

343 45

153 15

43 15

205 9

344 5

268 16

81 49

257 28

176 8

356 16

165 13

354 30

343 45

153 15

43 15

205 10

344 5

268 18

81 46

257 30

176 6

356 17

165 12

354 38

343 45

153 19

43 14

205 8

344 3

268 16

81 44

257 29

176 5

356 16

165 11

Такая гипотеза для всех четырех триад затмений проверяется в таблице VI.4. В первом столбце приведены даты двенадцати затмений. Во втором столбце содержатся вычисленные по теории Птолемея долготы Луны в момент середины затмения. Долгота Луны изменена на 180°, чтобы ее можно было сравнивать с долготой Солнца в следующем столбце. Значения долгот Луны я вычислял прямо из уравнения (IV.5), а не с помощью птолемеевых таблиц для уравнения центра. Сначала я попробовал пользоваться этими таблицами, но оказалось, что требующаяся в этом случае интерполяция неоднозначна. То есть для нескольких затмений я так и не решил, какую интерполяцию мог сделать Птолемей.

В третьем столбце даны долготы Солнца, которые Птолемей приводит для времени середины каждого затмения. Этот столбец нужно сравнивать с предыдущим. В каждом случае причиной расхождения может служить процесс вычисления. Наибольшее расхождение равно 3' для затмения 18 июня -381 г., и в этом случае вполне допустимая интерполяция в таблице Птолемея [глава IV.10 «.Синтаксиса»] дает точное совпадение [4]).

Не может быть и речи о том, что такое совпадение произошло случайно. Среднее значение расхождения точно равно 1'. Для простоты предположим, что все расхождения равны 1'. Предположим далее, что среднее квадратичное отклонение измерения времени составляет только 15 минут (это, возможно, недооценка). За 15 минут Луна по отношению к Солнцу сдвигается на 8', т. е. среднее квадратичное отклонение разницы между двумя столбцами должно быть 8'. Таким образом, значение во втором столбце совпадает с ожидаемыми значениями с точностью до одной восьмой среднего квадратичного отклонения. В каждом отдельном случае вероятность того, что это произошло в результате случайных погрешностей измерения, почти точно равна 0,1. Вероятность двенадцати таких случайных событий равна 10^-12.

Посмотрим теперь на последний столбец в таблице VI.4. Здесь дана вычисленная по теории Птолемея долгота Солнца в момент середины соответствующего затмения. Долгота почти однозначно вычисляется путем интерполяции по таблице для Солнца [глава III.6 «.Синтаксиса»]. Именно так и получены величины, внесенные в четвертый столбец таблицы VI.4. Для затмения 8 марта -719 г. (второе затмение первой триады) совпадение полное. Для любого затмения последних трех триад расхождение не превышает 2'. Причиной таких расхождений может явиться сам процесс вычислений. Однако для затмений 19 марта - 720 г. и 1 сентября -719 г. расхождения соответственно равны 8' и 4'. Расхождения такого размера я не могу объяснить допустимыми изменениями в способе вычислений или в интерполяции [5]). Время этих двух затмений не согласуется с птолемеевыми таблицами для Солнца и Луны. Во всех остальных десяти случаях согласование есть.

Еще до составления таблицы VI.4 мы предсказывали подобный результат. Теперь можно догадаться, что же произошло. Фальсификатор так выбирал время затмения 8 марта -719 г., чтобы первая триада затмений приводила к значению Е, близкому к 5°. Но время двух других затмений в этой триаде он подделывать не стал. Вместо этого по первой триаде он нашел среднюю долготу и аномалию Луны на время, подобранное для второго затмения (затмение 8 марта -719г.). Затем с помощью полученных результатов он рассчитал долготу Луны на (подлинное) время первого и третьего затмений и изменил эти величины на 180°. Наконец, Птолемей заявляет (а это не верно), что полученные таким образом величины равны вычисленной по теории Солнца долготе Солнца в соответствующие моменты времени. Все другие триады полностью сфабрикованы. При этом были использованы параметры, найденные из частично подлинной, частично поддельной первой триады.

Мы предполагаем, что данные о времени и о наибольшей фазе затмений 19 марта -720 г. и 1 сентября -719 г. истинные, а подделкой является лишь приведенная Птолемеем долгота Солнца. Но есть основания считать, что и эти записи сфабрикованы. Для этого надо рассмотреть природу вавилонского календаря и то, как Птолемей пользуется этим календарем. В нескольких словах такой анализ провести нельзя, поэтому я отложу обсуждение вавилонского календаря до Приложения В, чтобы не прерывать главную линию доказательств. Если доводы из приложения В справедливы, то Птолемей подделал время и величины затмений 19 марта -720 г. и 1 сентября -719 г. Но как он мог это сделать, я еще не знаю.

С этими затмениями связаны некоторые подозрительные моменты, но ни одно доказательство их поддельности не является достаточно убедительным. Поэтому я отношу их в категорию «могут быть подделкой». Если не будут получены твердые подтверждения истинности этих наблюдений, вряд ли их можно использовать в каких-либо исследованиях.

Из двенадцати затмений в таблице VI.4 десять затмений определенно являются подделкой, а затмения 19 марта -720 г. и 1 сентября -719 г. могут быть подделкой. Каждая триада, рассматриваемая как единое целое, содержит сфабрикованные данные. Для двух последних триад это относится только к тем данным, которые называет «правильными» Птолемей. Эти триады затмений использовал Гиппарх, и, возможно, у него были подлинные данные. К сожалению, Птолемей не дает тех моментов времени, которыми пользовался Гиппарх; Птолемей приводит только интервалы между затмениями. Я предположил, что у Гиппарха время первого затмения каждой триады такое же, как у Птолемея. Но еще раз подчеркиваю, это только предположение и сделано оно для того, чтобы получить некоторые числа для расчетов.

В главе VI.7 «Синтаксиса» Птолемей приводит значения L₂ и і₂, найденные из самой старой триады затмений (см. таблицу VI.3) и из той триады, которую, по его утверждению, наблюдал он сам. Как говорит Птолемей, изменение L₂ точно соответствует данным Гиппарха о среднем движении (см. раздел VI 4 нашей книги), а вот изменение і₂ расходится на 17'. Время между затмениями составляет 311 783 суток плюс 23 1/3 часа. Как мы уже установили, Птолемей изменяет значение Гиппарха для і2₍ на 0;0,0,0,11,46,39 градуса в сутки. Здесь конечно, лишь иллюзия поправки, поскольку обе триады сфабрикованы. Это просто число и ничего больше. Когда мы из затмений-подделок находим параметры L₂, і₂ и r, то округление и другие подобные аспекты вычислений не позволяют получить в точности те параметры, которые Птолемей использовал при подделке. На значение L₂ изменения в процессе вычислений не влияют, и поэтому получается совпадение изменения по долготе с результатами подделки. Значение і₂ более чувствительно, поэтому обратное решение дает несколько отличные от исходных значений. А Птолемей отсюда «находит», что требуется небольшое изменение параметра і2₍. Следует обратить внимание читателя на тот факт, что в первоначальном значении последние значащие цифры имеют порядок десятков в четвертой шестидесятеричной позиции после точки с запятой и найденное изменение имеет примерно такой же порядок.

Есть один интересный момент, касающийся затмения 22 сентября -200 г. Как говорит Птолемей, затмение началось за полчаса до восхода Луны. Я уже отмечал, что в таком виде эти данные не могут быть наблюдаемыми данными, и если наблюдение подлинное, то понять такую запись трудно. Если же запись фальшивая, то все объясняется просто. Птолемей «состряпал» времена и даже не заметил, что его способ их определения несовместим с наблюдениями.

Есть интересный момент, касающийся и триады затмений, происходивших в -382 и -381 годах. Из сказанного Птолемеем следует, по-видимому, что затмения наблюдались в Вавилоне. Но тогда (и это было установлено давно) трудно понять изложение некоторых фактов. Попытки объяснить эти записи породили значительные разногласия в литературе. Ссылки на некоторые такие работы можно найти в работе Ньютона [1970, с. 140-142]. Теперь же мы видим, что проблема снята. Затмения являются результатом подделки, и именно этим объясняются приводящие в замешательство записи о них.

Наконец, нужно отметить и необычный момент, связанный с затмением 6 марта 136 г. В Части III я получил, что это затмение, да и вся триада, сфабрикованы. Для этой триады я использовал эквивалент таблицы VI.4. Величину »₍±180° для этих затмений я вычислял по птолемеевой теории полнолуний (эта теория приведена в следующей главе). На 6 марта 136 г. я получил »₍ ±180°-344; 12 градуса.

Но когда я писал Часть III, у меня была ошибка в прочтении долготы Солнца для этого затмения (об этом уже говорилось). В тексте Птолемея долгота записана как №І' градусов. Случайно я посчитал №І' за 12', а не за 1/12 градуса, и тогда получаем, что значение, приведенное для » , было равно 344;12 градуса. Это значение точно совпадает с вычисленным значением »₍ ±180°.

Теорию полнолуния можно использовать для вычисления различных величин, характеризующих затмение. Теория, рассмотренная в этой главе, применима, строго говоря, только тогда, когда средняя элонгация D равна либо 0°, либо 180°, т. е. когда средняя Луна противостоит среднему Солнцу. Во время лунного затмения действительная Луна противостоит действительному Солнцу, a D обычно отличается от 180°. Но закончив работу над Частью III, я понял, что Птолемей в основу своей теории затмений положил теорию, рассмотренную в этой главе, несмотря на присутствующую здесь техническую ошибку. И проверяя записи затмений на подделку, нужно пользоваться теорией этой главы. Так я и поступил при составлении таблицы VI.4.

Переход от одной теории к другой не сильно изменит значения »₍±180°, но только не для затмения 6 марта 136 г. Для этой даты замена теории меняет значение »₍± 180° с 344;12 на 344;05 градуса. Но правильное прочтение размеров долготы » также дает нам значение 344;05 градуса. Так что »₍±180° точно совпадает с » и в таблице VI.4, и в Части III, хотя мы использовали в них разные значения » [6]).

[1] Птолемей, например, не мог сказать, что затмение началось в 2 часа 23 минуты после полуночи. Ни до, ни во время Птолемея никто не измерял время с такой точностью.

[2] Под этим, я думаю, он подразумевал то, что мы называем максимумом уравнения центра.

[3] Или по крайней мере затмений, которые по словам Птолемея использовал Гиппарх.

[4] Для этого затмения аномалия равна 27,37 градуса. По таблицам Птолемея находим, что для аномалии, равной 24°, для уравнения центра получаем значение 1,53 градуса, а для аномалии, равной 30°, уравнение центра равно 2,19. Если путем интерполяции фальсификатор получает 2,12, то долгота Луны у него была бы 261,46 градуса. Это точно соответствует долготе Солнца. В результате вполне допустимой интерполяции мы «в уме» можем получить результат 2,12

[5] Для затмения 1 сентября - 719 г аномалия была равна 90,2° (от апогея). Таким образом, интерполяции не требуется. С точностью, намного превышающей 1', уравнение центра равно своему максимальному значению, т е. 2,23 градуса.

[6] Все выглядит так, будто совпадение, получившееся в Части III, дело случая, поскольку оно обусловлено взаимной компенсацией двух ошибок. Однако здесь действует совсем другой фактор. Действует он и во многих других похожих ситуациях. Предположим, в Части III я сделал бы только одну ошибку. Например, если бы я считал, что » равно 344;12 градуса, но вместо общей теории использовал бы теорию, изложенную в этой главе, то для затмения 6 марта 136 г. получил бы расхождение величин » и »₍±180° на 7', а для каждого из двух других затмений триады эти величины получились бы почти одинаковыми. Такое несоответствие заставило бы меня провести более тщательное изучение, и, несомненно, я обнаружил бы ошибку в прочтении » для затмения 6 марта 136 г. Другими словами, у существенных ошибок есть возможность быть обнаруженными, те же ошибки, которые ускользают от нас, видимо, несущественны.